Skoro półprosta AF jest dwusieczną kąta BAC, to dzieli go na pół, więc:
Trójkąty AJF i AHF są prostokątne, więc:
Skoro dwa kąty w obu trójkątach są takie same, to trzeci również, więc:
Trójkąty AJF i AHP są przystające z cechy KBK
Skoro trójkąty AJF i AHF są przystające, to:
Skoro półprosta BF jest dwusieczną kąta ABC, to dzieli go na pół, więc:
Trójkąty BJF i BIF są prostokątne, więc:
Skoro dwa kąty w obu trójkątach są takie same, to trzeci również, więc:
Trójkąty BJF i BIF są przystające z cechy KBK
Skoro trójkąty BJF i BIF są przystające, to:
Skoro półprosta CF jest dwusieczną kąta ACB, to dzieli go na pół, więc:
Trójkąty ICF i HCF są prostokątne, więc:
Skoro dwa kąty w obu trójkątach są takie same, to trzeci również, więc:
Trójkąty ICF i HCF są przystające z cechy KBK
Skoro trójkąty ICF i HCF są przystające, to:
Ostatecznie, skoro:
, to:
Więc dwusieczne kątów w dowolnym trójkącie są równoodległe od każdego z boków, czyli przecinają się w jednym punkcie.
To kończy dowód.
