Zadanie 2 - strona 5
Zadanie
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii szachów, jeśli prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej gry przez Tomka wynosi
.
Rozwiązanie
Przekształćrównoważnienierówność,korzystajączewzorunasześciansumy:
(𝑎+2𝑏)3>8𝑎2𝑏+16𝑎𝑏2
𝑎3+6𝑎2𝑏+12𝑎𝑏2+8𝑏3−8𝑎2𝑏−16𝑎𝑏2>0
𝑎3−2𝑎2𝑏−4𝑎𝑏2+8𝑏3>0
𝑎2(𝑎 − 2𝑏) − 4𝑏2(𝑎 − 2𝑏) > 0
(𝑎 − 2𝑏)(𝑎2 − 4𝑏2) > 0
(𝑎−2𝑏)2(𝑎+2𝑏)>0
Zzałożenia𝑎>0i𝑏>0,więc𝑎+ 2𝑏>0. Ponieważ𝑏≠ ½ 𝑎,więc𝑎− 2𝑏≠0iwtedy(𝑎− 2𝑏)2>0jakokwadratliczby rzeczywistejróżnejodzera.
Zatem(𝑎− 2𝑏)2(𝑎+2𝑏)jestdodatniejakoiloczyn liczbdodatnich,więcnierówność
(𝑎− 2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏)>0jestprawdziwa dla każdejliczbydodatniej𝑎ikażdejliczby dodatniej b takich, że b ≠ ½ a. To oznacza, że również nierówność (𝑎+2𝑏)3>8𝑎2𝑏+16𝑎𝑏2 jestprawdziwadlakażdejdlakażdejliczbydodatniej𝑎 i każdej liczby dodatniej b takich, że takich, że b ≠ ½ a, co należało wykazać.
Wyjaśnienie
W tym zadaniu należy skorzystać ze wzoru na schemat Bernoullego:
, gdzie
to liczba prób,
liczba sukcesów,
to prawdopodobieństwo sukcesu, a
prawdopodobieństwo porażki.
Skorzystaj z treści zadania i wypisz wszystkie wartości potrzebne do skorzystania ze schematu Bernoullego.
– wygra Tomek
– Tomek przegra, wygra Romek
– liczba wszystkich rozegranych partii
– liczba partii wygranych przez Tomka
Zauważ, że aby obliczyć prawdopodobieństwo wygranej Tomka w co najmniej 4 grach musisz obliczyć sumę
oraz
.
Oznacza to, że prawdopodobieństwo wygranej przez Tomka w minimum 4 grach wynosi
