Wykaż, że jeśli w(0) i w(1) dla wielomianu
o współczynnikach całkowitych są liczbami nieparzystymi, to ten wielomian w nie ma pierwiastków całkowitych.
Z:
T: Wielomian w nie ma pierwiastków całkowitych
D:
d jest liczbą nieparzystą oraz
to liczba nieparzysta
z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych: jeżeli taki wielomian miałby pierwiastki całkowite, to musiałyby być one nieparzyste
- dowolna liczba nieparzysta
– liczba nieparzysta, czyli nigdy nie będzie to zero
Zacznij od zapisania wartości wielomianów dla 0 i 1 jako liczb nieparzystych. Zauważ, że wtedy współczynnik d, oraz suma wszystkich współczynników wielomianu są liczbami nieparzystymi. Powołując się na twierdzenie o pierwiastkach całkowitych zauważ, że jeżeli taki wielomian miałby mieć pierwiastki całkowite, to musiałyby być one nieparzyste. Weź dowolną liczbę nieparzystą i policz dla niej wartość wielomianu i zaobserwuj, że ta wartość również zawsze jest liczbą nieparzystą. Twierdzenie Bezouta mówi, że argument jest pierwiastkiem wtedy, i tylko wtedy, gdy wartość dla niego jest równa 0. 0 nie jest liczbą nieparzystą, więc twoja dowolna liczba nieparzysta nigdy nie będzie pierwiastkiem. Wcześniej zostało stwierdzone, że pierwiastek całkowity musiałby być nieparzysty, więc z tego wynika, że pierwiastek całkowity nie istnieje, a to kończy dowód.
Zadanie 1.
42Zadanie 2.
42Zadanie 3.
42Zadanie 4.
42Zadanie 5.
42Zadanie 6.
42Zadanie 7.
42Zadanie 8.
43Zadanie 12.
43Zadanie 15.
44Zadanie 16.
44Zadanie 17.
44Zadanie 19.
44Zadanie 21.
44Zadanie 22.
44Zadanie 2.
45Zadanie 3.
45Zadanie 4.
45Zadanie 5.
45Zadanie 11.
46Zadanie 12.
46Zadanie 13.
0Zadanie 14.
47Zadanie 19.
47Zadanie 20.
47Zadanie 1.
48Zadanie 2.
48Zadanie 3.
48Zadanie 6.
48Zadanie 7.
48Zadanie 8.
49Zadanie 11.
49Zadanie 19.
50Zadanie 20.
50Zadanie 1.
51Zadanie 2.
51Zadanie 3.
51Zadanie 4.
51Zadanie 5.
51Zadanie 7.
51Zadanie 8.
52Zadanie 9.
52Zadanie 12.
52Zadanie 15.
52Zadanie 17.
52Zadanie 18.
53Zadanie 20.
53Zadanie 21.
53Zadanie 22.
53Zadanie 26.
53Zadanie 1.
54Zadanie 4.
54Zadanie 8.
54Zadanie 9.
54Zadanie 10.
55Zadanie 16.
55Zadanie 1.
54Zadanie 2.
54Zadanie 7.
54Zadanie 8.
54Zadanie 10.
57Zadanie 12.
57Zadanie 14.
57Zadanie 18.
58Zadanie 19.
58Zadanie 20.
58Zadanie 21.
58Zadanie 22.
58Zadanie 1.
59Zadanie 2.
59Zadanie 3.
59Zadanie 4.
59Zadanie 5.
59Zadanie 6.
59Zadanie 7.
59Zadanie 8.
59Zadanie 9.
60Zadanie 10.
60Zadanie 17.
60Zadanie 18.
6Zadanie 19.
61Zadanie 23.
61Zadanie 1.
62Zadanie 2.
62Zadanie 3.
62Zadanie 4.
62Zadanie 5.
62Zadanie 6.
62Zadanie 7.
62Zadanie 8.
62Zadanie 9.
63Zadanie 19.
63Zadanie 1.
64Zadanie 2.
64Zadanie 3.
64Zadanie 4.
64Zadanie 8.
65Zadanie 9.
65Zadanie 16.
66Zadanie 23.
66Zadanie 1.
67Zadanie 3.
67Zadanie 4.
67Zadanie 6.
67Zadanie 18.
68Zadanie 4.
69Zadanie 6.
69Zadanie 10.
70Zadanie 11.
70Zadanie 3.
71Zadanie 5.
71Zadanie 7.
71Zadanie 10.
72Zadanie 11.
72Zadanie 12.
72Zadanie 15.
73Zadanie 16.
73Zadanie 19.
73Zadanie 20.
73Zadanie 21.
73Zadanie 23.
74Zadanie 25.
74Zadanie 27.
74Zadanie 29.
74