Zadanie
Uzasadnij, dlaczego funkcja stała
, gdzie c jest stałą liczbą rzeczywistą, jest funkcją okresową, ale jednocześnie wyjaśnij, że dla tej funkcji nie istnieje okres podstawowy.
Rozwiązanie
Funkcja stała (f(x) = c) dla każdego
jest funkcją okresową, ponieważ dla dowolnego x możemy wybrać T (np. T = 1) i otrzymamy f(x + 1) = c = f(x).
Jednakże, taka funkcja nie ma okresu podstawowego, ponieważ nie istnieje najmniejsza dodatnia stała
, spełniająca warunek
. Skoro f(x) jest stała dla wszystkich x, to dla dowolnego
otrzymujemy
, co dowodzi brak okresu podstawowego.
Podsumowując, funkcja stała f(x) = c dla każdego
jest funkcją okresową, ale nie posiada okresu podstawowego.
Wyjaśnienie
Funkcja stała f(x) = c, gdzie c jest stałą liczbą rzeczywistą, jest funkcją okresową, ponieważ ta sama wartość c jest przyporządkowana każdemu punktowi x w dziedzinie funkcji, czyli dla każdego x∈R.
Aby udowodnić, że f(x) = c nie ma okresu podstawowego, musisz pokazać, że nie istnieje żadna dodatnia wartość T, dla której funkcja powtarza się dla wszystkich argumentów.
Załóż nie wprost, że istnieje okres podstawowy T dla funkcji f(x) = c. Oznaczałoby to, że dla każdego x, f(x) = f(x + T). Jednakże, dla funkcji stałej f(x) = c, możemy wybrać dowolne T i to zdanie będzie prawdziwe, ponieważ wartość c jest taka sama dla każdego x, więc f(x + T) będzie również równe c.
Możesz wybrać dowolne T, na przykład T = 1, T = 10, T = 100, itd., i wciąż będziemy mieć f(x) = f(x + T) = c dla każdego x. To oznacza, że funkcja f(x) = c nie ma okresu podstawowego, ponieważ możemy znaleźć wiele różnych wartości T, dla których funkcja się powtarza.
Podsumowując, funkcja stała f(x) = c jest funkcją okresową, ale nie ma okresu podstawowego, ponieważ dla każdej dodatniej wartości T, funkcja nadal będzie się powtarzać dla wszystkich argumentów x.
Matematyka - wybrane pytania
REKLAMA
Zadania z tego działu
1. Funkcje trygonometryczne
10
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym – warto powtórzyć
10
Zadanie 1.
10Zadanie 2.
10Zadanie 3.
10Zadanie 4.
10
1.1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
11
Ćwiczenie wprowadzające1.
11Ćwiczenie wprowadzające2.
12Ćwiczenie wprowadzające3.
12Ćwiczenie wprowadzające4.
13Zadanie 1.
13Zadanie 3.
13Zadanie 4.
14Zadanie 5.
14Zadanie 6.
14Zadanie 7.
14Zadanie 8.
14Zadanie 9.
14
1.2. Kąt obrotu
15
Ćwiczenie wprowadzające2.
16Ćwiczenie wprowadzające3.
16Ćwiczenie wprowadzające4.
17Zadanie 1.
17Zadanie 3.
17Zadanie 4.
18Zadanie 5.
18Zadanie 6.
18Zadanie 7.
18Zadanie 8.
18Zadanie 9.
18Zadanie 11.
18
1.3. Miara łukowa kąta
19
Ćwiczenie wprowadzające1.
19Ćwiczenie wprowadzające2.
20Ćwiczenie wprowadzające3.
20Ćwiczenie wprowadzające4.
21Zadanie 2.
21Zadanie 3.
21Zadanie 4.
21Zadanie 5.
21
1.4. Funkcje okresowe
22
Ćwiczenie wprowadzające2.
23Zadanie 1.
23Zadanie 3.
23Zadanie 4.
24Zadanie 5.
24Zadanie 6.
24Zadanie 8.
24
1.5. Wykresy funkcji sinus i cosinus
25
Ćwiczenie wprowadzające1.
26Ćwiczenie wprowadzające2.
26Ćwiczenie wprowadzające4.
27Ćwiczenie wprowadzające6.
28Zadanie 1.
28Zadanie 2.
28Zadanie 3.
28Zadanie 4.
28Zadanie 5.
28Zadanie 6.
28
Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste – warto wiedzieć
29
Zadanie 1.[PS61]
29
1.6. Wykresy funkcji tangens i cotangens
30
Ćwiczenie wprowadzające3.
31Ćwiczenie wprowadzające4.
31Ćwiczenie wprowadzające7.
32Ćwiczenie wprowadzające8.
32Zadanie 1.
33Zadanie 2.
33Zadanie 3.
33Zadanie 4.
33Zadanie 5.
33Zadanie 6.
33
1.7. Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
34
Ćwiczenie wprowadzające1.
34Ćwiczenie wprowadzające2.[PS127]
34Ćwiczenie wprowadzające3.[PS128]
35Ćwiczenie wprowadzające 4.[PS131]
35Ćwiczenie wprowadzające5.
35Zadanie 1.[PS132]
36Zadanie 2.
36Zadanie 3.
36Zadanie 4.
36Zadanie 5.
36Zadanie 6.[PS139]
36Zadanie 7.
36Zadanie 8.
36Zadanie 9.
36
1.8. Przekształcenia wykresu funkcji (1)
37
Ćwiczenie wprowadzające1.
37Ćwiczenie wprowadzające2.
37Ćwiczenie wprowadzające3.
38Zadanie 1.
38Zadanie 2.
38Zadanie 3.
38Zadanie 5.
38Zadanie 6.
38Zadanie 7.
38Zadanie 8.
39
1.9. Przekształcenia wykresu funkcji (2)
40
Ćwiczenie wprowadzające3.
41Ćwiczenie wprowadzające4.
41Ćwiczenie wprowadzające5.
41Ćwiczenie wprowadzające6 [PS151]
42Zadanie 1.
42Zadanie 2.
42Zadanie 3.[PS152]
42Zadanie 4.
42Zadanie 5.
42Zadanie 6.[PS159]
43Zadanie 7.
43
Ruch po okręgu – warto wiedzieć
44
1.10. Przekształcenia wykresu funkcji (3)
45
Ćwiczenie wprowadzające1.
45Ćwiczenie wprowadzające2.
45Ćwiczenie wprowadzające3.
46Zadanie 1.
46Zadanie 2.
46Zadanie 3.
46Zadanie 4.
46Zadanie 5.
46Zadanie 6.
47Zadanie 8.
47Zadanie 9.
47Zadanie 11.
47Zadanie 12.[PS172]
47
Ruch po okręgu a sinusoida
48
1.11. Tożsamości trygonometryczne
49
Ćwiczenie wprowadzające2.[PS175]
49Ćwiczenie wprowadzające3.
50Ćwiczenie wprowadzające4.[PS178]
50Ćwiczenie wprowadzające5.
50Ćwiczenie wprowadzające6.
51Ćwiczenie wprowadzające8.
51Zadanie 1.
52Zadanie 2.
52Zadanie 3.
52Zadanie 4.
52Zadanie 5.
52Zadanie 6.
52Zadanie 7.
52
Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych – warto wiedzieć
53
1.12. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
54
Ćwiczenie wprowadzające1.
54Ćwiczenie wprowadzające2.[PS187]
55Ćwiczenie wprowadzające4.
55Ćwiczenie wprowadzające5.
55Ćwiczenie wprowadzające6.
55Ćwiczenie wprowadzające8.
56Zadanie 1.
56Zadanie 2.
56Zadanie 3.
56Zadanie 4.
56Zadanie 5.
57Zadanie 6.[PS194]
57Zadanie 7.[PS196]
57Zadanie 8.
57Zadanie 9.
57Zadanie 10.
57Zadanie 11.
57
1.13. Wzory redukcyjne
58
Ćwiczenie wprowadzające1.[PS202]
58Ćwiczenie wprowadzające2.
60Zadanie 1.[PS205]
60Zadanie 2.
60Zadanie 3.
60Zadanie 4.
60Zadanie 5.
60Zadanie 6.
61Zadanie 7.
61Zadanie 8.
61Zadanie 9.[PS215]
61
1.14. Równania trygonometryczne (1)
62
Ćwiczenie wprowadzające1.
62Ćwiczenie wprowadzające2.
63Ćwiczenie wprowadzające3.
63Ćwiczenie wprowadzające4.
63Ćwiczenie wprowadzające5.
63Zadanie 1.
64Zadanie 2
64Zadanie 3.
64Zadanie 4
64Zadanie 5.
64Zadanie 6.
64Zadanie 7.
64Zadanie 8.
64
1.15. Równania trygonometryczne (2)
65
Ćwiczenie wprowadzające 1.
65Ćwiczenie wprowadzające2.
65Ćwiczenie wprowadzające3
66Ćwiczenie wprowadzające4.
66Zadanie 1.
67Zadanie 2.
67Zadanie 3.
67Zadanie 4.
67Zadanie 5.
67Zadanie 6.
67Zadanie 7.
67
Suma i różnica sinusów, suma i różnica cosinusów – warto wiedzieć
68
Zadanie 1.
68Zadanie 2.
68
1.16. Nierówności trygonometryczne
69
Ćwiczenie wprowadzające1.
69Ćwiczenie wprowadzające2.
69Ćwiczenie wprowadzające3.
69Ćwiczenie wprowadzające4.
70Ćwiczenie wprowadzające5
70Ćwiczenie wprowadzające6.
70Ćwiczenie wprowadzające7.
70Zadanie 1.
70Zadanie 2.
70Zadanie 3.
71Zadanie 4.
71Zadanie 5.
71Zadanie 6
71Zadanie 7.
71Zadanie 8.
71Zadanie 9.
71Zadanie 10.
71Zadanie 11.
72
1.17. Zagadnienia uzupełniające
72
Zadanie 2.
73Zadanie 3.
73Zadanie 4.
74Zadanie 6.
75
Zestawy powtórzeniowe. Zestaw 1
76
Zadanie 1.
76Zadanie 2.
76Zadanie 3.
76Zadanie 4.
76Zadanie 5.
76Zadanie 6.
76Zadanie 7.
76Zadanie 8.
76Zadanie 9.
77Zadanie 11.
77Zadanie 12.
77Zadanie 13.
77Zadanie 14.
77Zadanie 16.
77Zadanie 17.
77Zadanie 18.
77
Zestawy powtórzeniowe. Zestaw 2
78
Zadanie 1.
78Zadanie 2.
78Zadanie 3.
78Zadanie 4.
78Zadanie 5.
78Zadanie 7.
78Zadanie 8.
78Zadanie 9.
78Zadanie 10.
78Zadanie 11.
79Zadanie 12.
79Zadanie 13.
79Zadanie 14.
79Zadanie 15.
79Zadanie 16.
79Zadanie 17.[MT513] [MT514]
79Zadanie 19.
79Zadanie 20.
79
Zadania testowe
81
Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym
82