Udowodnij, że jeśli dany jest trójkąt przedstawiony na rysunku, w którym , punkty i leżą na bokach trójkąta i tak, że , odcinek przecina wysokość w punkcie oraz .

Oblicz brakujące miary kątów w trójkątach ABD, ACB i CBD. Zauważ, że każdy z nich jest prostokątny.

Trójkąty ABC, ABD i BCD to trójkąty szczególne. Ich miary kątów to . Oznacza to, że długość boku znajdującego się naprzeciwko średniego kąta jest o razy większa od długości boku znajdującego się naprzeciwko najmniejszego kąta, a długość boku znajdującego się naprzeciwko największego kąta jest 2 razy większa od długości najkrótszego boku. Na tej podstawie zapisz długości boków w tych trójkątach.

W trójkącie ABD:

W trójkącie ABC:

Więc:

Zauważ, że trójkąt KBL jest równoramienny prostokątny, jego miary kątów to , więc jest to trójkąt szczególny. Oznacza to, że długość boku znajdującego się naprzeciwko kąta prostego jest o razy większa od długości każdego z jego ramion. Na tej podstawie zapisz miarę brakującego boku w trójkącie KBL.

Oblicz brakującą miarę kąta w trójkącie BNL.

Skorzystaj z twierdzenia sinusów w trójkącie BNL.

Oblicz wartość Skorzystaj ze wzoru na sumę kątów w sinusie oraz wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.

Podstaw znane wartości do zapisanego powyżej twierdzenia sinusów.

Pomnóż na skos i z powstałego równania oblicz długość boku BN.

Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianownika, czyli pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez wartość znajdującą się w mianowniku z przeciwnym znakiem pomiędzy pierwiastkami.

Pozostało obliczyć długość odcinka ND. Zauważ, że zrobisz to odejmując od długości boku BD obliczoną powyżej długość odcinka BN.

To kończy dowód.