Proste AB i AC są styczne w punkcie O. Punkt D leży na łuku BC, wewnątrz trójkąta ABC, jak na rysunku poniżej. W tym zadaniu musisz wykazać, że suma
jest stała (tzn. nie zależy od położenia punktu D na łuku BC). Czy teza będzie prawdziwa, jeśli punkt D będzie leżał na łuku BC na zewnątrz trójkąta ABC?
B i C to punkty styczności, więc
. Trójkąt ODB jest równoramienny, więc
, miara kąta DOB będzie równa
. Analogicznie trójkąt OCD również jest równoramienny, więc
i miara kąta COD będzie równa
. Stąd miara kąta COB będzie równa
, więc
. Ponieważ wartość miary kąta COB nie ulega zmianie niezależnie od położenia punktu D, to suma kątów jest stała.
Jeśli punkt D będzie leżał na łuku BC, na zewnątrz trójkąta ABC, to: trójkąt ODB równoramienny, więc
, analogicznie trójkąt OCD:
. Stąd miara kąta CDB będzie równa
, czyli
. Wartość kąta CDB nie ulega zmianie niezależnie od położenia punktu D, więc w tym przypadku również suma kątów jest stała.
Musisz oznaczyć kąt OBA jako
, wówczas kąt DOB będzie równy
. Analogicznie oznacz kąt DCA jako
i wówczas kąt COD będzie równy
.
W drugim przypadku oznacz kąt DBA jako
i wówczas kąt ODB będzie równy
. Analogicznie oznacz kąt DCA jako
i wówczas kąt CDO będzie równy
.
Zadanie 2
122Zadanie 5
122Zadanie 8
123Zadanie 9
123Zadanie 10
123Zadanie 11
124Zadanie 12
124Zadanie 13
124Zadanie 14
124Zadanie 19
125Zadanie 20
125Zadanie 21
125Zadanie 22
126Zadanie 23
126Zadanie 24
126Zadanie 25
126Zadanie 26
126Zadanie 27
126Zadanie 34
127Zadanie 37
127Zadanie 40
128Zadanie 42
128Zadanie 44
128Zadanie 45
128Zadanie 46
129Zadanie 51
129Zadanie 52
129Zadanie 53
129Zadanie 57
130Zadanie 61
131Zadanie 62
131Zadanie 63
131Zadanie 64
131Zadanie 69
132Zadanie 70
132Zadanie 75
132Zadanie 78
133Zadanie 79
134Zadanie 80
134Zadanie 81
134Zadanie 82
135Zadanie 83
135Zadanie 84
135Zadanie 103
137Zadanie 107
138Zadanie 109
138Zadanie 113
139Zadanie 118
140Zadanie 119
140Zadanie 122
140Zadanie 125
140Zadanie 127
141Zadanie 128
141Zadanie 129
141Zadanie 131
141Zadanie 137
142Zadanie 146
143Zadanie 148
143Zadanie 150
143Zadanie 151
143Zadanie 155
144Zadanie 156
144Zadanie 162
145Zadanie 163
145Zadanie 164
145Zadanie 165
145Zadanie 166
145Zadanie 167
145Zadanie 168
145Zadanie 169
146Zadanie 171
146Zadanie 172
146Zadanie 173
146Zadanie 174
147Zadanie 17
149Zadanie 19
149Zadanie 21
150Zadanie 22
150Zadanie 24
150Zadanie 26
150Zadanie 27
151Zadanie 28
151Zadanie 29
151Zadanie 30
151Zadanie 32
151Zadanie 37
152