Trójkąt ABC jest równoboczny, a jego bok ma długość a, a>1. Punkt D należy do boku AC oraz |AD| = 1. Na przedłużeniu boku BC poza punkt C leży punkt P. W tym zadaniu musisz wykazać, że jeśli |CP| = 1, to trójkąt DBP jest równoramienny.
Niech
będzie punktem na boku
takim, żeby
, analogicznie jak
.
Widzimy od razu, że trójkąt
jest równoramienny, bo
. Jednak kąt przy wierzchołku
to
, jeśli oznaczymy kąty przy ramionach
jako
to z sumy kątów trójkąta otrzymujemy
co dowodzi, że trójkąt
jest równoboczny. W szczególności,
.
Teraz zauważamy że trójkąty
oraz
są przystające na mocy reguły bok - kąt - bok:
Z tego wynika, że
, co kończy dowód.
Aby udowodnić że jakiś trójkąt jest równoramienny zwykle stosuje się dwie strategie:
1. Bezpośredni dowód że ramiona mają równą długość.
2.Dowód że kąty przy ramionach są takie same.
W tym zadaniu założenia mówią wyłącznie o długościach (pada długość
i
), i nie widać na pierwszy rzut oka trójkątów o znanych kątach więc strategia 2 nie wydaje się naturalnym wyborem.
Aby udowodnić że ramiona mają równą długość, najczęstszym narzędziem jest przystawanie trójkątów. Należy znaleźć dwa przystające trójkąty, które udowodnią zależność. Tutaj, bez dorysowania punktu
jest to trudne – znamy długość specjalnego odcinka
, ale jest on zbyt daleko od docelowego trójkąta. Po dorysowaniu rysunek staje się dużo bardziej symetryczny, co zwykle powinno być wskazówką, że to dobry wybór.
Zadanie 2
122Zadanie 5
122Zadanie 8
123Zadanie 9
123Zadanie 10
123Zadanie 11
124Zadanie 12
124Zadanie 13
124Zadanie 14
124Zadanie 19
125Zadanie 20
125Zadanie 21
125Zadanie 22
126Zadanie 23
126Zadanie 24
126Zadanie 25
126Zadanie 26
126Zadanie 27
126Zadanie 34
127Zadanie 37
127Zadanie 40
128Zadanie 42
128Zadanie 44
128Zadanie 45
128Zadanie 46
129Zadanie 51
129Zadanie 52
129Zadanie 53
129Zadanie 57
130Zadanie 61
131Zadanie 62
131Zadanie 63
131Zadanie 64
131Zadanie 69
132Zadanie 70
132Zadanie 75
132Zadanie 78
133Zadanie 79
134Zadanie 80
134Zadanie 81
134Zadanie 82
135Zadanie 83
135Zadanie 84
135Zadanie 103
137Zadanie 107
138Zadanie 109
138Zadanie 113
139Zadanie 118
140Zadanie 119
140Zadanie 122
140Zadanie 125
140Zadanie 127
141Zadanie 128
141Zadanie 129
141Zadanie 131
141Zadanie 137
142Zadanie 146
143Zadanie 148
143Zadanie 150
143Zadanie 151
143Zadanie 155
144Zadanie 156
144Zadanie 162
145Zadanie 163
145Zadanie 164
145Zadanie 165
145Zadanie 166
145Zadanie 167
145Zadanie 168
145Zadanie 169
146Zadanie 171
146Zadanie 172
146Zadanie 173
146Zadanie 174
147Zadanie 17
149Zadanie 19
149Zadanie 21
150Zadanie 22
150Zadanie 24
150Zadanie 26
150Zadanie 27
151Zadanie 28
151Zadanie 29
151Zadanie 30
151Zadanie 32
151Zadanie 37
152