W tym zadaniu należy udowodnić twierdzenie:
Jeśli liczba x jest niewymierna, to liczba x + 1 jest niewymierna.
Zastosujemy metodę dowodu nie wprost:
Założenie: x + 1 jest wymierne.
Z definicji liczby wymiernej, możemy zapisać
jako
, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, b ≠ 0, a/b jest postaci ułamka.
Odejmujemy 1 od obu stron równania:
.
Zauważamy, że x jest postaci
, co jest równoważne ułamkowi, więc x jest wymierna.
Widzimy, że nasze założenie, że liczba x jest niewymierna, prowadzi do sprzeczności z założeniem, że liczba
jest wymierna.
Skoro nasze założenie prowadzi do sprzeczności, negacja twierdzenia musi być fałszywa.
Zatem, pierwotne twierdzenie "Jeśli liczba x jest niewymierna, to liczba
jest niewymierna" jest prawdziwe.
Wnioskujemy stąd, że jeśli liczba x jest niewymierna, to liczba
również musi być niewymierna.
Dowód nie wprost zakłada wyjście od negacji twierdzenia wyjściowego. Z definicji liczby wymiernej, możemy zapisać
jako
, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, b ≠ 0, a/b jest postaci ułamka.
Odejmujemy 1 od obu stron równania:
.
Zauważamy, że x jest postaci
, co jest równoważne ułamkowi, więc x jest wymierna.
Widzimy, że nasze założenie, że liczba x jest niewymierna, prowadzi do sprzeczności z założeniem, że liczba
jest wymierna.
Skoro nasze założenie prowadzi do sprzeczności, negacja twierdzenia musi być fałszywa.
Zatem, pierwotne twierdzenie "Jeśli liczba x jest niewymierna, to liczba
jest niewymierna" jest prawdziwe.
Wnioskujemy stąd, że jeśli liczba x jest niewymierna, to liczba
również musi być niewymierna.
Zadanie 1
25Zadanie 2
25Zadanie 3
25Zadanie 4
25Zadanie 5
26Zadanie 6
26Zadanie 7
26Zadanie 8
26Zadanie 9
27Zadanie 10
27Zadanie 11
27Zadanie 12
27Zadanie 13
28Zadanie 14
28Zadanie 15
28Zadanie 16
28Zadanie 17
28Zadanie 18
28Zadanie 19
29Zadanie 20
29Zadanie 21
29Zadanie 22
29Zadanie 23
29Zadanie 24
29Zadanie 25
30Pytanie 26
30Zadanie 27
30Zadanie 29
30Zadanie 30
30Zadanie 31
30Zadanie 32
31Zadanie 33
31Zadanie 34
31Zadanie 35
31Zadanie 36
31Zadanie 37
31Zadanie 38
32Zadanie 39
32Zadanie 40
32Zadanie 41
32Zadanie 42
32Zadanie 43
32Zadanie 44
32Zadanie 45
32Zadanie 46
33Zadanie 47
33Zadanie 48
33Zadanie 49
33Zadanie 50
33Zadanie 51
33Zadanie 52
34Zadanie 53
34Zadanie 56
34Zadanie 57
34Zadanie 58
34Zadanie 59
35Zadanie 60
35Zadanie 61
35Zadanie 62
35Zadanie 63
36Zadanie 64
36Zadanie 65
36Zadanie 66
36Zadanie 67
36Zadanie 6
36Zadanie 7
36Zadanie 8
37Zadanie 9
37Zadanie 15
38Pytanie 17
38