W tym zadaniu musisz wykazać, że granica sum częściowych ciągu zbiega do określonej wartości.
Obwód okręgu:
Obwód okręgu:
Wszystkie okręgi są wpisane w kąt o mierze
oraz wszystkie są styczne zewnętrznie: pierwszy do drugiego, drugi do trzeciego i tak dalej. Zatem:
Tworzy ciąg geometryczny o ilorazie:
Promienie są odpowiednimi przyprostokątnymi pewnych trójkątów podobnych o skali podobieństwa równej właśnie:
Ponadto okrąg wpisany w kąt
jest wpisany w trójkąt równoboczny. Jednocześnie:
Itd. Gdzie
to kolejne wysokości trójkątów równobocznych, w które wpisane są okręgi o promieniach
Zatem:
Iloraz ciągu geometrycznego, który wyznaczają promienie,
spełnia warunki zbieżności szeregu geometrycznego, zatem granice liczysz ze znanego Ci wzoru:
Wykonaj rysunek poglądowy (dla czytelności zostały naszkicowane tylko dwa pierwsze okręgi):
Okręgi wpisane w kąt
są wpisane w trójkąt równoboczny, którego dwa boki wyznaczają ten kąt. Rozpatrując trójkąty
oraz:
Ponadto:
Zadanie 1.
78Zadanie 2.
78Zadanie 4.
78Zadanie 5.
78Zadanie 6.
78Zadanie 8.
79Zadanie 11.
79Zadanie 12.
79Zadanie 13.
79Zadanie 14.
79Zadanie 15.
79Zadanie 1.
84Zadanie 2.
84Zadanie 3.
84Zadanie 4.
84Zadanie 5.
84Zadanie 6.
84Zadanie 7.
84Ćwiczenie 1.
85Ćwiczenie 2.
85Ćwiczenie 3.
86Zadanie 1.
90Zadanie 2.
90Zadanie 3.
91Zadanie 4.
91Zadanie 8.
91Zadanie 9.
91Zadanie 15.
92Zadanie 1.
98Zadanie 2.
98Zadanie 3.
98Zadanie 4.
98Zadanie 5.
98Zadanie 8.
99Zadanie 14.
99Zadanie 15.
99Zadanie 19.
99Ćwiczenie 1.
100Zadanie 1.
107Zadanie 2.
107Zadanie 3.
108Zadanie 5.
108Zadanie 8.
108Zadanie 11.
108Zadanie 16.
109Zadanie 19.
109Zadanie 3.
115Zadanie 6.
116Zadanie 7.
116Zadanie 10.
116Ćwiczenie 1.
122Zadanie 1.
129Zadanie 3.
129Zadanie 4.
129Zadanie 6.
129Zadanie 10.
130Zadanie 11.
130Ćwiczenie 3.
134Zadanie 3.
137Zadanie 7.
137Zadanie 8.
137Ćwiczenie 2.
140Ćwiczenie 3.
142Ćwiczenie 4.
143Zadanie 1.
143Zadanie 2.
143Zadanie 3.
143Zadanie 4.
144Zadanie 5.
144Zadanie 6.
144Zadanie 7.
144Zadanie 8.
144Ćwiczenie 3.
148Zadanie 1.
149Zadanie 2.
148Zadanie 3.
149Ćwiczenie 1.
152Ćwiczenie 4.
154Ćwiczenie 5.
154Zadanie 1.
155Zadanie 2.
155Zadanie 3.
155Zadanie 4.
155Zadanie 5.
155Zadanie 6.
155Ćwiczenie 1.
159Zadanie 1.
161Zadanie 2.
161Zadanie 7.
162Zadanie 8.
162Zadanie 9.
162Zadanie 9.
164Zadanie 10.
164Zadanie 11.
164Zadanie 15.
164Zadanie 17.
165Zadanie 19.
165Zadanie 20.
165