W tym zadaniu musisz obliczyć granicę ciągu z definicji.
Niech
będzie dowolną liczbą dodatnią. Masz pokazać, że istnieje taka liczba
, że wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od
spełniają nierówność
. Mamy:
Zauważ, że dla dowolnej liczby naturalnej
otrzymasz:
Jeśli dla każdej liczby dodatniej
przyjmiesz
, to dla dowolnej liczby naturalnej n większej od
otrzymasz:
, co kończy dowód.
Liczba g jest granicą nieskończonego ciągu
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej
istnieje taka liczba
, że dla każdej liczby naturalnej
większej od
spełniona jest nierówność
.
Zadanie 1.
78Zadanie 2.
78Zadanie 4.
78Zadanie 5.
78Zadanie 6.
78Zadanie 8.
79Zadanie 11.
79Zadanie 12.
79Zadanie 13.
79Zadanie 14.
79Zadanie 15.
79Zadanie 1.
84Zadanie 2.
84Zadanie 3.
84Zadanie 4.
84Zadanie 5.
84Zadanie 6.
84Zadanie 7.
84Ćwiczenie 1.
85Ćwiczenie 2.
85Ćwiczenie 3.
86Zadanie 1.
90Zadanie 2.
90Zadanie 3.
91Zadanie 4.
91Zadanie 8.
91Zadanie 9.
91Zadanie 15.
92Zadanie 1.
98Zadanie 2.
98Zadanie 3.
98Zadanie 4.
98Zadanie 5.
98Zadanie 8.
99Zadanie 14.
99Zadanie 15.
99Zadanie 19.
99Ćwiczenie 1.
100Zadanie 1.
107Zadanie 2.
107Zadanie 3.
108Zadanie 5.
108Zadanie 8.
108Zadanie 11.
108Zadanie 16.
109Zadanie 19.
109Zadanie 3.
115Zadanie 6.
116Zadanie 7.
116Zadanie 10.
116Ćwiczenie 1.
122Zadanie 1.
129Zadanie 3.
129Zadanie 4.
129Zadanie 6.
129Zadanie 10.
130Zadanie 11.
130Ćwiczenie 3.
134Zadanie 3.
137Zadanie 7.
137Zadanie 8.
137Ćwiczenie 2.
140Ćwiczenie 3.
142Ćwiczenie 4.
143Zadanie 1.
143Zadanie 2.
143Zadanie 3.
143Zadanie 4.
144Zadanie 5.
144Zadanie 6.
144Zadanie 7.
144Zadanie 8.
144Ćwiczenie 3.
148Zadanie 1.
149Zadanie 2.
148Zadanie 3.
149Ćwiczenie 1.
152Ćwiczenie 4.
154Ćwiczenie 5.
154Zadanie 1.
155Zadanie 2.
155Zadanie 3.
155Zadanie 4.
155Zadanie 5.
155Zadanie 6.
155Ćwiczenie 1.
159Zadanie 1.
161Zadanie 2.
161Zadanie 7.
162Zadanie 8.
162Zadanie 9.
162Zadanie 9.
164Zadanie 10.
164Zadanie 11.
164Zadanie 15.
164Zadanie 17.
165Zadanie 19.
165Zadanie 20.
165