Dane są funkcje 𝑓 oraz 𝑔 są określone wzorami oraz . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt . A odległość punktu P od punktu leżącego na wykresie funkcji wynosi . Oblicz współrzędne punktu , w którym powinien znajdować się koniec toru, aby jego długość była możliwie największa. Oblicz tą długość.

Wyznacz współrzędne punktów przecięcia prostych i .

Skorzystaj z metody podstawienia i podstaw wartość z pierwszego równania pod drugie.

Wyznacz rozwiązania powstałego równania. Oblicz deltę i miejsca zerowe.

Zapisz współrzędne punktów A i B, wyznaczających przecięcia wykresów funkcji.

Zaznacz na wykresie funkcji punkt C oraz na wykresie funkcji punkt B. Dodatkowo oznacz na wykresie punkty D i E tak, aby utworzone trójkąty CDP i BEP były prostokątne.

Zauważ, że przyprostokątne trójkąta CDP są krótsze od przyprostokątnych trójkąta BEP.

Dodaj obustronnie.

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa w powstałej nierówności.

Oznacza to, że aby odległość z punktu P do punktu K była największa, to musi on leżeć na wykresie funkcji . Możesz więc skorzystać ze wzoru na odległość pomiędzy punktem P, a punktem leżącym na wykresie funkcji .

Wprowadź równanie funkcji pomocniczej, aby pozbyć się pierwiastka.

Zapisz dziedzinę tej funkcji. Zauważ, że szukany punkt K znajduję się pomiędzy punktami A i B.

Wyznacz równanie pochodnej funkcji i oblicz jej miejsca zerowe.

Zauważ, że tylko jedno z trzech wyliczonych miejsc należy do dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale ma jedno miejsce zerowe i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja (oraz ) rośnie w przedziale ,a maleje w przedziale . Więc będzie to największa wartość pochodnej.

Oblicz współrzędne punktu K oraz jego odległość do punku P.