Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niedzielących się przez 4, dzieli się przez 36.

Oznacz jako – dowolna liczba całkowita.

Zauważ, że liczba jest podzielna przez 4.

Liczba nie dzieli się przez 4, gdy ma resztę z dzielenia. Zauważ, że liczby nie dzielą się przez 4, ponieważ ich reszta z dzielenia wynosi odpowiednio 1, 2 i 3.

Zapisz więc sześcian każdej z tych liczb i dodaj je do siebie. Skorzystaj ze wzoru na sześcian sumy.

Zauważ, że liczba dzieli się przez 36, ponieważ jeden ze składników iloczynu jest podzielny przez 36.

Aby liczba dzieliła się przez 36, to wartość wyrażenia musi dzielić się przez 36. Zauważ, że liczba ta dzieli się już przez 12, więc wartość znajdująca się w nawiasie musi dzielić się przez 3.

Oznacz jako – dowolna liczba naturalna.

Rozważ trzy przypadki:

Liczba jest podzielna przez 3:

Wtedy wartość wyrażenia jest podzielna przez 3.

Liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Wtedy wartość wyrażenia jest podzielna przez 3.

Liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Wtedy wartość wyrażenia jest podzielna przez 3.

Oznacza to, że liczba jest podzielna przez 3 dla dowolnej liczby całkowitej, więc wyrażenie będzie dzieliło się przez 36.

Suma dwóch liczb podzielnych przez 36, będzie też dzieliła się przez 36.

Oznacza to, że suma trzech kolejnych sześcianów liczb niepodzielnych przez 4 dzieli się przez 36.

To kończy dowód.