Udowodnij, że środki boków dowolnego czworokąta o kątach wypukłych stanowią wierzchołki równoległoboku, a następnie wykaż, że jego pole stanowi połowie pola tego czworokąta.
Z1 : ABCD – czworokąt wypukły
T1 : EFGH - równoległobok
D1 :
E – środek boku AB ⇒ |AE| = |BE|
F – środek boku BC ⇒ |BF| = |CF|
G – środek boku CD ⇒ |CG| = |DG|
H – środek boku DA ⇒ |DH| = |AH|
Trójkąt ADC:
HG – odcinek łączący środki boków AD i DC ⇒ HG ∥ AC
Trójkąt ABC:
EF – odcinek łączący środki boków AB i CB ⇒ EF ∥ AC
Trójkąt ABD:
HE – odcinek łączący środki boków AD i AB ⇒ HE ∥ BD
Trójkąt BCD:
FG – odcinek łączący środki boków CD i BC ⇒ FG ∥ BD
⇓
EF ∥ HG
HE ∥ FG
⇓
EFGH – równoległobok
∎
T2 :
D2 :
∎
Dowód 1:
Skorzystaj z własności, która mówi, że jeśli łączymy środki boków trójkąta, to dany odcinek jest równoległy do przeciwległego boku, a jego długość jest od niego dwa razy mniejsza. Pokazując równoległość odpowiednich prostych wynika, że powstały czworokąt jest równoległobokiem.
Dowód 2:
Korzystając z podanych zależności wyznacz pole czworokąta ABCD. Na mocy cechy kkk wynika, że trójkąty GCF i DCB są podobne. Wyznacz skalę ich podobieństwa. Następnie wyznacz zależności między ich polami (analogicznie postąp w pozostałych przypadkach).
Zadanie 4.
276Zadanie 7.
276Zadanie 12.
277Zadanie 13.
277Zadanie 15.
277Zadanie 1.
280Zadanie 4.
280Zadanie 6.
281Zadanie 7.
281Zadanie 12.
281Zadanie 16.
282Zadanie 17.
282Zadanie 18.
282Zadanie 20.
282Zadanie 22.
283Zadanie 28.
283Zadanie 29.
284Zadanie 30.
284Zadanie 31.
284Zadanie 32.
284Zadanie 1.
285Zadanie 2.
285Zadanie 3.
285Zadanie 4.
285Zadanie 17.
287Zadanie 22.
288Zadanie 4.
289Zadanie 5.
289Zadanie 12.
290Zadanie 16.
291Zadanie 27.
292Zadanie 2.
293Zadanie 3.
293Zadanie 7.
294Zadanie 11.
294Zadanie 13.
294Zadanie 18.
295Zadanie 19.
295Zadanie 24.
296Zadanie 25.
296Zadanie 27.
296Zadanie 1.
297Zadanie 2.
297Zadanie 4.
297Zadanie 15.
298Zadanie 17.
298Zadanie 20.
299Zadanie 1.
300Zadanie 3.
300Zadanie 9.
300Zadanie 11.
301Zadanie 16.
301Zadanie 26.
302Zadanie 27.
302Zadanie 1.
304Zadanie 2.
304Zadanie 3.
304Zadanie 6.
304Zadanie 7.
304Zadanie 9.
304Zadanie 15.
305Zadanie 24.
306Zadanie 25.
306Zadanie 30.
307