Zadanie
Oblicz kąty w trójkącie PQR, wiedząc, że odcinki AQ, CR, BP są wysokościami w trójkącie ABC, którego kąty mają miary ∢CAB = 50°, ∢ABC = 60°, ∢BCA = 70°.
Rozwiązanie
AQ, CR, BP – wysokości
⇓
|∢QAC| = |∢QBP| = 20°
|∢BAQ| = |∢BCR| = 30°
|∢ACR| = |∢ABP| = 40°
⇓ kkk
△CRB ∼ △AQB
⇓
|∢RBQ| = |∢ABC| = 60°
⇓
△QBR ∼ △ABC
(analogicznie można pokazać podobieństwo △APR, △PCQ do △ABC)
⇓
|∢BRQ| = |∢ARP| = 70°
|∢BQR| = |∢CQP| = 50°
|∢APR| = |∢CPQ| = 60°
⇓
|∢PQR| = 180° - |∢BRQ| - |∢ARP| = 180° - 70° - 70° = 40°
|∢RQP| = 180° - |∢ BQR | - |∢ CQP | = 180° - 50° - 50° = 80°
|∢QPR| = 180° - |∢APR| - |∢CPQ| = 180° - 60° - 60° = 60°
Wyjaśnienie
Wiedząc, że poprowadzono wysokości w trójkącie ABC, wyznacz miary kątów w powstałych trójkątach. Następnie zauważ, że trójkąty powstałe przez poprowadzenie tych wysokości są podobne na mocy cechy kkk. Wyznacz stosunek odpowiednich boków. Na jej podstawie zauważ, że w trójkątach stosunki dwóch boków oraz miara kąta zawartego między nimi są takie same, więc trójkąt ABC jest podobny do trójkątów ARP, BRQ i CPQ. Następnie oblicz ich kąty. Kąty wewnętrzne trójkąta PQR wyznacz na podstawie kątów przyległych.
Matematyka - wybrane pytania
REKLAMA
Zadania z tego działu
6. Planimetria
274
6.1. Miary kątów w trójkącie
276
Zadanie 4.
276Zadanie 7.
276Zadanie 12.
277Zadanie 13.
277Zadanie 15.
277
6.2. Trójkąty przystające
280
Zadanie 1.
280Zadanie 4.
280Zadanie 6.
281Zadanie 7.
281Zadanie 12.
281Zadanie 16.
282Zadanie 17.
282Zadanie 18.
282Zadanie 20.
282Zadanie 22.
283Zadanie 28.
283Zadanie 29.
284Zadanie 30.
284Zadanie 31.
284Zadanie 32.
284
6.3. Twierdzenie Talesa
285
Zadanie 1.
285Zadanie 2.
285Zadanie 3.
285Zadanie 4.
285Zadanie 17.
287Zadanie 22.
288
6.4. Wielokąty podobne
289
Zadanie 4.
289Zadanie 5.
289Zadanie 12.
290Zadanie 16.
291Zadanie 27.
292
6.5. Trójkąty podobne
293
Zadanie 2.
293Zadanie 3.
293Zadanie 7.
294Zadanie 11.
294Zadanie 13.
294Zadanie 18.
295Zadanie 19.
295Zadanie 24.
296Zadanie 25.
296Zadanie 27.
296
6.6. Pola wielokątów podobnych
297
Zadanie 1.
297Zadanie 2.
297Zadanie 4.
297Zadanie 15.
298Zadanie 17.
298Zadanie 20.
299
6.7. Twierdzenie o dwusieczne kąta w trójkącie
300
Zadanie 1.
300Zadanie 3.
300Zadanie 9.
300Zadanie 11.
301Zadanie 16.
301Zadanie 26.
302Zadanie 27.
302
6.8. Powtórzenie
304
Zadanie 1.
304Zadanie 2.
304Zadanie 3.
304Zadanie 6.
304Zadanie 7.
304Zadanie 9.
304Zadanie 15.
305Zadanie 24.
306Zadanie 25.
306Zadanie 30.
307
Zadania testowe
309
To było na maturze
310