Oblicz współrzędne wierzchołka C dla którego pole trapezu o współrzędnych $\text{[math]}$ znajdujących się na paraboli o równaniu $\text{[math]}$ jest największe.

$\text{[math]}$

ODP.: $\text{[math]}$

Wprowadź oznaczenia pomocnicze.

Zauważ, że punkt C znajduję się na paraboli o równaniu $\text{[math]}$ Zapisz współrzędne tego punktu.

$\text{[math]}$

Z rysunku odczytaj długość odcinka AB.

$\text{[math]}$

Zauważ, że odległość punktu C do osi Oy jest równa współrzędnej x. Taką samą długość ma odległość punktu D od osi Oy.

$\text{[math]}$

Wysokość trapezu to odległość punktu C od osi Ox, jest ona równa współrzędnej y.

$\text{[math]}$

Zauważ, że pierwsza współrzędna wierzchołka musi być większa od zera i nie może być większa od 2 (podstawa CD jest krótsza od podstawy AB).

$\text{[math]}$

Zapisz wzór na pole trapezu ABCD.

$\text{[math]}$

Podstaw pod wzór pola obliczoną wcześniej długość podstawy CD i wysokości. Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej x.

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji P(x).

$\text{[math]}$

Oblicz miejsca zerowe powstałej funkcji.

$\text{[math]}$

Oblicz deltę i miejsca zerowe.

$\text{[math]}$

Zauważ, że $\text{[math]}$ nie należy do dziedziny $\text{[math]}$

Oznacza to, że pochodna w tym przedziale ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ rośnie do $\text{[math]}$ i potem maleje. Będzie to więc największa wartość pochodnej.