Oblicz sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu, powstałego przez dodanie obwodów wszystkich kwadratów opisanych w sposób:
· $\text{[math]}$ jest kwadratem o boku długości 𝑎
· $\text{[math]}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $\text{[math]}$ i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 3
· $\text{[math]}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $\text{[math]}$ i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 2,
· $\text{[math]}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $\text{[math]}$ i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 3.

$\text{[math]}$

ODP: Suma wszystkich powstałych obwodów kwadratów wynosi $\text{[math]}$

Wprowadź oznaczenia pomocnicze. Zauważ, że skoro wierzchołek kwadratu dzieli bok w stosunku 3 : 1, to dzieli go na 4 części, z czego jedna stanowi $\text{[math]}$ długości boku, a druga $\text{[math]}$ jego długości.

Oblicz obwód kwadratu $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Zauważ, że boki długości $\text{[math]}$ przedstawione na rysunku tworzą trójkąt prostokątny. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i wyznacz długość boku kwadratu $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Długość boku musi być dodatnia, więc $\text{[math]}$ Na tej podstawie oblicz obwód kwadratu $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Z treści zadania wiesz, że kolejne obwody kwadratów przedstawionych na rysunku tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz jego iloraz. Zrobisz to, dzieląc obwód kwadratu $\text{[math]}$ przez obwód kwadratu $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Zauważ, że $\text{[math]}$ , możesz więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

$\text{[math]}$

Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianownika, czyli pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez wartość znajdującą się w mianowniku z przeciwnym znakiem pomiędzy liczbami.

$\text{[math]}$