Oblicz wysokość trójkąta opadającą na bok , jeśli dany jest sześcian przedstawiony na rysunku, o krawędzi długości 6, a punkt jest miejscem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸.

Wprowadź oznaczenia pomocnicze:

Zapisz długość przekątnej sześcianu i przekątnej jego ściany. Pamiętaj o tym, że przekątna sześcianu jest o razy dłuższa od długości jego krawędzi, a przekątna ściany, czyli kwadratu jest o razy dłuższa od jego boku.

Zauważ, że odcinek SH jest równy połowie długości przekątnej ściany sześcianu. Oblicz jego długość.

Zauważ, że odcinki AL i SL są równe połowie długości krawędzi sześcianu. Na tej podstawie oblicz ich długość.

Trójkąt ALB jest prostokątny. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i oblicz długość odcinak BL.

Trójkąt SBL jest także prostokątny. Ponownie skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i oblicz długość odcinka BS.

Skorzystaj z twierdzenia cosinusów w trójkącie BSK i oblicz cosinus kąta .

Zauważ, że , więc jest kątem rozwartym.

Skorzystaj ze wzoru na jedynkę trygonometryczną: . Podstaw do wzoru obliczoną powyżej wartość cosinusa i na tej podstawie oblicz sinus kąta .

Skoro cosinus jest ujemny, to sinus musi być dodatni. Usuń niewymierność z mianownika, czyli pomnóż licznik i mianownik ułamka przez .

Zapisz dwa różne wzory na pole trójkąta SBH. Jeden z nich niech będzie z sinusem, a drugi z szukaną długością wysokości SK.

Podstaw znane wartości pod powyższe równanie i oblicz długość odcinka SK.

Usuń niewymierność z mianownika, czyli pomnóż licznik i mianownik ułamka przez .