Wyznacz dla jakich wartości parametru $\text{[math]}$ prosta o równaniu $\text{[math]}$ ma dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Prosta i okrąg przecinają się w dwóch miejscach, gdy powyższe równanie jest kwadratowe i ma dwa rozwiązania.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ – spełnione zawsze

$\text{[math]}$

ODP: Prosta i okrąg przecinają się w dwóch miejscach gdy $\text{[math]}$

Znasz środek okręgu i długość promienia, możesz więc zapisać równanie okręgu w postaci kanonicznej.

$\text{[math]}$

Zapisz układ równań opisujących wzór okręgu i prostej, aby obliczyć współrzędne punktów ich przecięcia.

$\text{[math]}$

Wartość $\text{[math]}$ z pierwszego równania podstaw pod drugie i doprowadź je do najprostszej postaci.

$\text{[math]}$

Prosta i okrąg przecinają się w dwóch miejscach, gdy powyższe równanie jest kwadratowe i ma dwa rozwiązania, więc współczynnik znajdujący się przy $\text{[math]}$ musi być różny od zera oraz delta musi być dodatnia.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ – spełnione zawsze

$\text{[math]}$

Zauważ, że nierówność składa się z iloczynu dwóch nawiasów, przyrównaj więc każdy z nich do zera i oblicz ich rozwiązania.

$\text{[math]}$

Zaznacz obliczone rozwiązania na osi. Wykres zacznij rysować od góry, ponieważ współczynnik stojący przy $\text{[math]}$ z największą potęgą jest dodatni. Zaznacz przedziały, gdy wykres jest nad osią.