Oblicz maksymalną objętość prostopadłościnu i długość boku kwadratu wyciętego z prostokątnego arkusza kartonu o wymiarach 80 cm na 50 cm, jeśli w każdym z jego rogów usunięto kwadratowe naroża, a powstały karton zgięto wzdłuż linii tworząc prostopadłościenne pudełko bez przykrywki.

$\text{[math]}$

Wymiar prostopadłościanu: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

ODP: Objętość największego prostopadłościanu wynosi 18000.

Wykonaj rysunek pomocniczy:

Zauważ, że długości krawędzi prostopadłościanu muszą być dodatnie, więc:

$\text{[math]}$

Z powstałych nierówności wyznacz $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Zapisz przedział spełniający wszystkie powyższe nierówności jednocześnie.

$\text{[math]}$

Zapisz wzór na objętość prostopadłościanu o krawędziach podanych na rysunku. Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej $\text{[math]}$ . Przedstaw jej wzór w najprostszej postaci.

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Oblicz rozwiązanie powstałej pochodnej, czyli przyrównaj jej wartość do zera.

$\text{[math]}$

Oblicz deltę i miejsca zerowe powyższego równania.

$\text{[math]}$

Zaznacz obliczone rozwiązania na osi. Ramiona paraboli skieruj do góry ponieważ współczynnik stojący przy $\text{[math]}$ z największą potęgą jest dodatni. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale $\text{[math]}$ ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ rośnie w przedziale $\text{[math]}$ ,a maleje w przedziale $\text{[math]}$ . Więc będzie do największa wartość pochodnej.