Oblicz dla jakich m trójkąt ABC jest prostokątny, jeśli wierzchołek C leży na paraboli o równaniu oraz 𝐴 = (0, 2) i 𝐵 = (1, 3), a pierwsza współrzędna wierzchołka C wynosi .

Skorzystaj z tego, że skoro trójkąt ma być ostry, to cosinus każdego z jego kątów musi być dodatni.

– największy kąt trójkąta ABC

Twierdzenie cosinusów mówi o tym, że największy kąt znajduję się naprzeciwko najdłuższego boku. Zauważ, że nie wiesz który z boków trójkąta jest najdłuższy. Musisz więc skorzystać z tego twierdzenia dla każdego z boków.

Skorzystaj z tego, że .

Zauważ, że możesz pomnożyć każdą z nierówności przez jej mianownik. Długość każdego z boków jest dodatnia, więc iloczyn ich i 2 też jest liczbą dodatnią – znak nierówności nie zmieni się.

Oblicz długość każdego z boków trójkąta.

Podstaw obliczone długości boków do uzyskanych wcześniej nierówności.

Oblicz dla jakich m spełniona jest każda nierówność.

Oblicz deltę i miejsca zerowe.

Zapisz do jakiego przedziału należą m dodatnie.

Oblicz deltę i miejsca zerowe drugiej nierówności.

Zapisz do jakiego przedziału należą m dodatnie.

Zapisz iloczyn przedziałów obydwu nierówności.

Rozwiąż ostatnią nierówność. Zauważ, że nie da się wyliczyć delty i miejsc zerowych, tak jak w przypadku wcześniejszych przykładów.

Rozbij nierówność na dwa nawiasy. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia w jednym z nich.

Kwadrat różnicy jest zawsze większy bądź równy zero .

Zauważ, że dla działanie będzie zawsze większe od zera. Ponieważ dla największej wartości do której należą m ( , otrzymasz wynik dodatni.

Ostatnie równanie spełniają . Więc do tego przedziału należą wartości m ze wszystkich trzech nierówności.