Udowodnij, że pole trójkąta ABC jest 21 razy większe od pola trójkąta DBP, jeśli na bokach 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 trójkąta równobocznego
wybrano punkty 𝐷 i 𝐸 takie, że
, a odcinki 𝐶𝐷 i 𝐵𝐸 przecinają się w punkcie 𝑃.
Wykonaj rysunek pomocniczy.
Zauważ, że trójkąty ABE i BCD są podobne z cechy bkb:
. Więc trójkąty DBP i BCD są podobne z cechy kkk (
.
Oblicz pole trójkąta ABC i BCD. Zauważ, że obie te figury mają takie same wysokości.
Pole trójkąta ABC jest 3 razy większe od BCD, więc pole trójkąta BCD jest 3 razy mniejsze od trójkąta ABC.
Skorzystaj z twierdzenia cosinusów w trójkącie ADC i oblicz długość boku CD.
Wiesz, że trójkąty DBP i BCD są podobne. Możesz obliczyć skalę ich podobieństwa.
Oblicz stosunek pól tych trójkątów. Pamiętaj, że skala jest wtedy podniesiona do kwadratu.
Zauważ, że
.
To kończy dowód.