Oblicz największą objętość i długości krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego suma długości promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej wynosi $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

ODP: Największa objętość wynosi $\text{[math]}$ , a krawędź podstawy jest równa $\text{[math]}$

Wykonaj rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiesz, że suma długości promienia i krawędzi bocznej wynosi $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Z powstałego równania wyznacz wartość $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Zauważ, że trójkąt CES jest prostokątny. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i wyznacz z niego wartość wysokości $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Zauważ, że wartość znajdująca się pod pierwiastkiem musi być dodatnia. Oblicz dla jakich $\text{[math]}$ jest to spełnione. Pamiętaj, że $\text{[math]}$ , bo długość promienia musi być dodatnia.

$\text{[math]}$

Oblicz długość krawędzi podstawy w zależności od promienia okręgu. Skorzystaj z tego, że przekątna kwadratu jest równa średnicy okręgu na nim opisanego.

$\text{[math]}$

Zapisz wzór na objętość ostrosłupa.

$\text{[math]}$

Podstaw znane wartości. Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej $\text{[math]}$ . Zapisz równanie funkcji $\text{[math]}$ w postaci wyrażenia pod jednym pierwiastkiem.

$\text{[math]}$

Zapisz funkcję pomocniczą zmiennej $\text{[math]}$ . Skorzystaj z wartości pod pierwiastkiem.

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji.

$\text{[math]}$

Przyrównaj wartość pochodnej do zera i oblicz jej rozwiązania.

$\text{[math]}$

Zaznacz uzyskane miejsca zerowe na osi. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale $\text{[math]}$ ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ (oraz $\text{[math]}$ ) rośnie w przedziale $\text{[math]}$ ,a maleje w przedziale $\text{[math]}$ . Więc będzie do największa wartość pochodnej: