Oblicz objętość i wysokość stożka, którego suma długości tworzącej i promienia podstawy wynosi 2, jeśli ma być ona największa.

Oznacz jako:

– promień podstawy

– tworząca stożka

- wysokość

Z treści zadania wiesz, że suma długości tworzącej i promienia wynosi 2. Na tej podstawie wyznacz wartość tworzącej stożka.

Zauważ, że obie wielkości, czyli promień i tworząca muszą być większe od zera.

Zapisz dziedzinę równania, czyli przedział spełniający powyższe nierówności.

Wykonaj rysunek pomocniczy:

Zauważ, że promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i wyznacz długość wysokości.

Zauważ, że wartość znajdująca się pod pierwiastkiem musi być dodatnia. Wyznacz wartości spełniające tą własność.

Zapisz wzór na objętość stożka.

Pod powyższe równanie podstaw wyznaczoną wartość . Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej Włącz zmienną pod pierwiastek.

Zapisz funkcję pomocniczą zmiennej . Skorzystaj z wartości pod pierwiastkiem.

Oblicz pochodną funkcji

Oblicz miejsca zerowe powstałej pochodnej, czyli przyrównaj jej wartość do zera.

Wyłącz przed nawias.

Zauważ, że powstałe równanie składa się z iloczynu dwóch nawiasów. Będzie ono zerem, jeśli chociaż jeden z nich wyzeruję się. Na tej podstawie oblicz rozwiązania każdego z nawiasów.

Zaznacz obliczone rozwiązania na osi. Ramiona paraboli skieruj do dołu ponieważ współczynnik stojący przy z największą potęgą jest ujemny. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale ma jedno miejsce zerowe i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja (oraz ) rośnie w przedziale ,a maleje w przedziale . Więc będzie do największa wartość pochodnej.

Oblicz objętość stożka dla największej długości promienia.