Dana jest funkcja f, która każdej liczbie $\text{[math]}$ przyporządkowuje resztę z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3. Wykaż, że liczba 2 nie należy do zbioru wartości funkcji f.

Założenia:

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n resztę z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3.

Teza:

Funkcja f nie przyjmuje wartości 2.

Dowód:

Niech liczba k będzie dowolną liczbą naturalną.

Wiemy, że po podzieleniu dowolnej liczby naturalnej n przez 3 otrzymujemy resztę 0, 1 lub 2. Rozpatrzmy każdy z tych przypadków i zobaczmy co dzieje się po podniesieniu liczby n do kwadratu.

I. Dzielenie liczby n przez 3 daje resztę 0.

Oznacza to, że liczba n jest podzielna przez 3, czyli możemy ją zapisać jako:

$\text{[math]}$

Podnieśmy obustronnie to równanie do kwadratu.

$\text{[math]}$

Jak widzimy liczba po prawej nadal jest podzielna przez 3, zatem reszta wciąż pozostaje równa 0.

II. Dzielenie liczby n przez 3 daje resztę 1.

Możemy taką liczbę zapisać jako:

$\text{[math]}$

Podnieśmy obustronnie to równanie do kwadratu.

$\text{[math]}$

Jak możemy zauważyć, wyrażenie po prawej stronie równania to suma liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, co oznacza, że jej reszta z dzielenia przez 3 jest nadal równa 1.

III. Dzielenie liczby n przez 3 daje resztę 2.

Możemy taką liczbę zapisać jako:

$\text{[math]}$

Podnieśmy obustronnie to równanie do kwadratu.

$\text{[math]}$

Jak możemy zauważyć, wyrażenie po prawej stronie równania to suma liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, co oznacza, że jej reszta z dzielenia przez 3 jest teraz równa 1.

Wszystkie liczby naturalne podzielone przez 3 dają resztę 0, 1 lub 2 co oznacza, że sprawdziliśmy wszystkie możliwe przypadki dla całego zbioru liczb naturalnych. Jak możemy zauważyć:

Liczby naturalne podzielne przez 3 po podniesieniu do kwadratu nadal są podzielne przez 3.

Liczby naturalne, które po podzieleniu przez 3 pozostawiają resztę 1, po podniesieniu do kwadratu nadal pozostawiają resztę 1.

Liczby naturalne, które po podzieleniu przez 3 pozostawiają resztę 2, po podniesieniu do kwadratu pozostawiają już tylko resztę 1.

Oznacza to, że żadna liczba naturalna podniesiona do kwadratu i podzielona przez 3 nigdy nie pozostawia reszty 2. Oznacza to jednocześnie, że funkcja f, która każdej liczbie $\text{[math]}$ przyporządkowuje resztę z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 nigdy nie przyjmuje wartości 2, a więc liczba ta nie należy do jej zbioru wartości.

Co należało udowodnić.

Na początku zapisz założenia i tezę wyciągnięte z polecenia. Następnie oznacz k jako dowolną liczbę naturalną i zauważ, że każda liczba naturalna podzielona przez 3 daje resztę 0, 1 lub 2. Rozpatrz wszystkie te przypadki przyrównując liczbę n do wyrażenia z k, które taki przypadek przedstawia i podnosząc tak powstałe równania do kwadratu. Zauważ, że liczby, które po podzieleniu przez 3 pozostawiały resztę 0 lub 1, po podniesieniu do kwadratu nadal pozostawiają takie same reszty. Zauważ też, że liczby, które po podzieleniu przez 3 pozostawiały resztę 2, po podniesieniu do kwadratu pozostawiają już tylko resztę 1. Na końcu stwierdź, że w takim razie funkcja f nigdy nie przyjmuje wartości 2 i zakończ dowód.