Dany jest czworokąt
oraz punkty
,
,
,
Udowodnij, że jest to kwadrat.
Poszczególne wektory
,
,
,
tworzą czworokąt
. Policzmy zatem współrzędne tych wektorów.
Zauważmy, że
oraz
. Wektory te mają zatem ten sam kierunek, a co za tym idzie pary boków
i
oraz
i
są równoległe.
Sprawdźmy długości poszczególnych wektorów:
Wszystkie boki czworokąta mają zatem tę samą długość.
Prostopadłość wektorów można sprawdzić za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa:
Trójkąty
i
są zatem prostokątne.
Ze wszystkich powyższych informacji wynika, że czworokąt
jest kwadratem, co należało wykazać.
Zauważ, że poszczególne wektory
,
,
,
tworzą czworokąt
.
Oblicz współrzędne tych wektorów korzystając z zależności:
Gdzie
,
.
Zauważ, że poszczególne pary wektorów mają ten sam kierunek, zatem poszczególne boki są równoległe; zatem czworokąt jest równoległobokiem.
Policz długości wszystkich wektorów, które stanowią boki czworokąta.
Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa sprawdź, że trójkąty
i
, z których zbudowany jest czworokąt, są prostokątne.
Na podstawie wszystkich zebranych informacji wywnioskuj, że czworokąt
jest kwadratem.
Zakończ dowód.
Zadanie 1.6.
204Zadanie 1.7.
205Zadanie 1.8.
205Zadanie 1.9.
205Zadanie 1.10.
205Zadanie 1.11.
205Zadanie 1.12.
205Zadanie 1.13.
206Zadanie 1.14.
206Zadanie 1.15.
206Zadanie Prosto do matury 2
206Zadanie 2.4.
210Zadanie 2.5.
210Zadanie 2.6.
210Zadanie 2.10.
211Zadanie 2.11.
211Zadanie 2.12.
211Zadanie 2.13.
211Zadanie 2.17.
212Zadanie 2.22.
212Zadanie 3.4.
216Zadanie 3.9.
216Zadanie 3.10.
216Zadanie 3.12.
216Zadanie 3.14.
217Zadanie 4.2.
220Zadanie 4.4.
220Zadanie 4.5.
220Zadanie 4.6.
220Zadanie 5.5.
225Zadanie 5.6.
225Zadanie 5.11.
226Zadanie 5.12.
226Zadanie 5.13.
226Zadanie 5.14.
227Zadanie 5.15.
227Zadanie Prosto do matury 5
227Zadanie 6.6.
233Zadanie 6.7.
233Zadanie 6.8.
234Zadanie 6.9.
234Zadanie 6.10.
234Zadanie 6.12.
235Zadanie 6.13.
236Zadanie 6.14.
236Zadanie 6.15.
236Zadanie 6.16.
236Zadanie 6.17.
236Zadanie 6.18.
237Zadanie 7.4.
242Zadanie 7.5.
243Zadanie 7.6.
243Zadanie 7.7.
243Zadanie 7.8.
243Zadanie 7.9.
243Zadanie 7.10.
243Zadanie 7.11.
243Zadanie 7.14.
244Zadanie 7.15.
244Zadanie 7.20.
244Zadanie 7.21.
244Zadanie 8.4.
252Zadanie 8.6.
252Zadanie 8.7.
253Zadanie 8.8.
253Zadanie 8.9.
253Zadanie 8.10.
253Zadanie 8.11.
254Zadanie 8.12.
255Zadanie 8.13.
255Zadanie 8.14.
256Zadanie 8.15.
256Zadanie 8.17.
256Zadanie 8.18.
256Zadanie 9.4.
264Zadanie 9.18.
266Zadanie 9.19.
266Zadanie 9.20.
266Zadanie 9.21.
266Zadanie 9.22.
266Zadanie Prosto do matury 5
267Zadanie 10.4.
271Zadanie 10.5.
272Zadanie 10.6.
272Zadanie 10.11.
274Zadanie 10.12.
274Zadanie 10.13.
274Zadanie 10.16.
275Zadanie Prosto do matury 3.
276Zadanie 11.4.
281Zadanie 11.5.
281Zadanie 11.6.
281Zadanie 11.7.
281Zadanie 11.8.
281Zadanie 11.9.
281Zadanie 11.10.
281Zadanie 11.11.
281Zadanie 11.12.
282Zadanie 11.13.
282Zadanie Prosto do matury 2
282Zadanie 12.4.
288Zadanie 12.5.
288Zadanie 12.6.
288Zadanie 12.7.
289Zadanie 12.8.
289Zadanie 12.9.
289Zadanie 12.11.
290Zadanie 12.12.
290Zadanie 12.13.
290Zadanie 12.20.
290Zadanie 13.3.
300Zadanie 13.5.
300Zadanie 13.6.
300Zadanie 13.7.
300Zadanie 13.8.
300Zadanie 13.12.
301Zadanie Prosto do matury 2
302Zadanie 14.1.
312Zadanie 14.2.
312Zadanie 14.3.
312Zadanie 14.4.
312Zadanie 14.5.
312Zadanie 14.6.
312Zadanie 14.9.
313Zadanie 14.10.
313Zadanie 14.11.
313Zadanie 14.12.
313Zadanie 14.13.
313Zadanie 14.14.
313Zadanie 14.15.
313Zadanie 14.16.
313Zadanie 15.4.
318Zadanie 15.6.
318Zadanie 15.7.
318Zadanie 15.8.
319Zadanie 15.9.
319Zadanie 15.10.
319Zadanie 15.11.
319Zadanie 15.12.
319Zadanie 15.22.
321Zadanie 16.41
328Zadanie 16.42
328Zadanie 16.43
329Zadanie 16.46
329Zadanie 16.48
329Zadanie 16.58
330Zadanie 16.59
330Zadanie 16.63
331Zadanie 16.64
331Zadanie 16.65
331Zadanie 16.68
332