Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego ABCS przedstawionego na rysunku, którego podstawą jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6, na krawędziach bocznych BS i CS znajdują się punkty D i E, takie że
oraz
, a płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS ostrosłupa.
- wysokość trójkąta SDE
– wysokość ostrosłupa
– długość krawędzi bocznej
ODP: Objętość ostrosłupa wynosi
Wprowadź oznaczenia pomocnicze:
Oznacz jako:
- wysokość trójkąta SDE
– wysokość ostrosłupa
– długość krawędzi bocznej
Zauważ, że skoro płaszczyzny ADE i BCS są względem siebie prostopadłe, to boki AG i SH również. Więc trójkąty AGH i ASG są prostokątne.
Trójkąty BHS i DGS są podobne z cechy kąt, kąt, kąt
, więc
. Skorzystaj z tego i wyznacz długość odcinka SH.
Oblicz długość odcinka AK. Zauważ, że jest on wysokością trójkąta równobocznego o boku 6.
Zauważ, że trójkąt AGH jest prostokątny. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i wyznacz długość wysokości
.
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AGS i SHC.
Zauważ, że powstał układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi.
Przyrównaj do siebie wartości
i z powstałego równania oblicz
.
Oblicz długość wysokości ostrosłupa.
Oblicz jego objętość.
