Zapisz i oblicz pole trójkąta $\text{[math]}$ jaki funkcję zmiennej $\text{[math]}$ , wyznacz jego dziedzinę i długości boków dla których jest ono największe, jeśli dane są okręgi: jeden o środku S i promieniu 18 oraz pozostałe dwa o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ oraz o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
· rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
· obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18;
· punkty: $\text{[math]}$ nie leżą na jednej prostej,
a pole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona $\text{[math]}$ , gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

$\text{[math]}$

ODP: Największe pole trójkąta $\text{[math]}$ wynosi $\text{[math]}$ , a jego boki mają długości $\text{[math]}$ .

Wykonaj rysunek pomocniczy:

Oblicz obwód trójkąta $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

W miejsce wzoru Herona na pole trójkąta podstaw znane długości boków i połowę obwodu.

$\text{[math]}$

Zauważ, że wartość znajdująca się pod pierwiastkiem musi być dodatnia. Oblicz dla jakich $\text{[math]}$ jest to spełnione. Pamiętaj, że $\text{[math]}$ , bo długość promienia musi być dodatnia.

$\text{[math]}$

Zapisz funkcję pomocniczą zmiennej $\text{[math]}$ . Skorzystaj z wartości pod pierwiastkiem.

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Przyrównaj wartość pochodnej do zera i oblicz jej rozwiązania.

$\text{[math]}$

Zaznacz uzyskane miejsca zerowe na osi. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale $\text{[math]}$ ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ (oraz $\text{[math]}$ ) rośnie w przedziale $\text{[math]}$ ,a maleje w przedziale $\text{[math]}$ . Więc będzie do największa wartość pochodnej: