Oblicz wymiary prostopadłościanu o jak najmniejszym polu całkowitym i objętości 8, którego stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka wynosi 1 : 2, suma długości wszystkich krawędzi jest mniejsza od 28.

$\text{[math]}$

ODP: Wymiary prostopadłościanu o najmniejszym polu całkowitym wynoszą $\text{[math]}$ .

Wykonaj rysunek pomocniczy:

Zauważ, że krawędź prostopadłościanu musi być dodatnia: $\text{[math]}$ .

Ze wzoru na objętość, czyli iloczyn trzech różnych krawędzi oblicz długość trzeciej z nich, czyli $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Z treści zadania wiesz, że suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu musi być mniejsza od 28. Oblicz jakie wartości $\text{[math]}$ spełniają ten warunek.

$\text{[math]}$

Skorzystaj ze schematu Hornera, aby obliczyć miejsca zerowe powyższej nierówności.

Narysuj tabelę. W pierwszym wierszu wpisz wszystkie kolejne współczynniki uporządkowanego wielomianu. W lewym dolnym rogu najniższego wiersza tabelki wpisz liczbę, która jest miejscem zerowym dwumianu, czyli 1. Przepisz pierwszy współczynniku bez zmian do dolnego wiersza. Tak otrzymaną liczbę 3 pomnóż przez liczbę 1, która jest miejscem zerowym dwumianu, następnie dodaj liczbę -7. Wynik będący liczbą -4 wpisz do kolejnej komórki dolnego wiersza w schemacie Hornera. Podobnie postępuj z kolejnymi współczynnikami wielomianu.

Liczby powstałe w dolnym wierszu są współczynnikami trójmianu, który powstał po dzieleniu. Zapisz go.

$\text{[math]}$

Oblicz rozwiązania drugiego nawiasu, czyli deltę i miejsca zerowe.

$\text{[math]}$

Zaznacz rozwiązania każdego z nawiasów na osi i zaznacz przedział, w którym funkcja jest pod osią. Pamiętaj o tym, że $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Zapisz pole całkowite prostopadłościanu. Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Przyrównaj wartość pochodnej do zera i oblicz jej rozwiązania.

$\text{[math]}$

Zaznacz uzyskane miejsce zerowe na osi. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale $\text{[math]}$ ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ maleje w przedziale $\text{[math]}$ ,a rośnie w przedziale $\text{[math]}$ . Więc będzie do najmniejsza wartość pochodnej: