Wykaż, że jeśli
, miary kątów trójkąta ABC przedstawionego na rysunku wynoszą
i
, punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta w punktach odpowiednio D i E, to na czworokącie DCES można opisać okrąg.
AS – dwusieczna kąta BAC
BS – dwusieczna kąta ABC
Aby na czworokącie DCES można było opisać okrąg, to suma miar przeciwległych kątów musi wynosić
.
To kończy dowód.
Zauważ, że skoro punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt, to odcinki AS i BS są odpowiednio dwusiecznymi kątów BAC i ABC.
Na tej podstawie zapisz miary kątów BAS i ABS.
Skorzystaj z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi
i oblicz miarę kąta ASB.
Skorzystaj z założenia zawartego w treści zadania:
.
Zauważ, że kąty ASB i ESD są wierzchołkowe, więc ich miary są równe.
Aby na czworokącie DCES można było opisać okrąg, to suma miar przeciwległych kątów musi wynosić
.
To kończy dowód.