Oblicz największą objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego suma długości krawędzi wynosi $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ – krawędź podstawy

$\text{[math]}$ – krawędź boczna i wysokość

$\text{[math]}$

ODP: Największa objętość graniastosłupa wynosi $\text{[math]}$

Oznacz jako:

$\text{[math]}$ – krawędź podstawy

$\text{[math]}$ – krawędź boczna i wysokość

Zauważ, że graniastosłup prawidłowy czworokątny ma 8 krawędzi podstawy i 4 krawędzie boczne. Z treści zadania znasz ich sumę, zapisz to za pomocą równania.

$\text{[math]}$

Zauważ, że długość boków musi być dodatnia:

$\text{[math]}$

Wyznacz zbiór rozwiązań dla których wyznaczona wartość $\text{[math]}$ jest dodatnia.

$\text{[math]}$

Wyznacz objętość graniastosłupa.

$\text{[math]}$

Pod powyższe równanie podstaw wyliczoną wartość $\text{[math]}$ . Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Wyznacz miejsca zerowe powstałej pochodnej, czyli przyrównaj jej wartość do zera.

$\text{[math]}$

Wyłącz $\text{[math]}$ przed nawias.

$\text{[math]}$

Zauważ, że powstałe równanie składa się z iloczynu dwóch nawiasów. Będzie ono zerem, jeśli chociaż jeden z nich wyzeruję się. Na tej podstawie oblicz rozwiązania każdego z nawiasów.

$\text{[math]}$

Zaznacz obliczone rozwiązania na osi. Ramiona paraboli skieruj do dołu ponieważ współczynnik stojący przy $\text{[math]}$ z największą potęgą jest ujemny. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale $\text{[math]}$ ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ rośnie w przedziale $\text{[math]}$ ,a maleje w przedziale $\text{[math]}$ . Więc będzie do największa wartość pochodnej.