Zapisz objętość graniastosłupa prostego $\text{[math]}$ jako funkcję promienia R i miary kąta $\text{[math]}$ , którego podstawą jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R, dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu, a krótsza cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $\text{[math]}$ , przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ - wysokość trapezu opuszczona z wierzchołka D

$\text{[math]}$ – wysokość graniastosłupa

$\text{[math]}$

ODP: Objętość graniastosłupa w zależności od promienia $\text{[math]}$ i kąta $\text{[math]}$ wynosi $\text{[math]}$ .

Oznacz jako:

$\text{[math]}$ - wysokość trapezu opuszczona z wierzchołka D opadająca w punkcie E

$\text{[math]}$ – wysokość graniastosłupa

Zauważ, że kąt CAD jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy DOC, więc jego miara jest od niego dwukrotnie mniejsza.

$\text{[math]}$

Zauważ, że okrąg opisany na trapezie ABCD jest również okręgiem opisanym na trójkącie ACD. Skorzystaj z twierdzenia sinusów w tym trójkącie i oblicz długość odcinka CD.

$\text{[math]}$

Trójkąty AOD, DOC i BOC tworzą kąt półpełny, przy czym kąty AOD i BOC są równe. Na tej podstawie oblicz ich miarę.

$\text{[math]}$

Skorzystaj z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie EDO i oblicz wartość wysokości trójkąta i jednocześnie trapezu.

$\text{[math]}$

Skorzystaj z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie $\text{[math]}$ oraz tego, że przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\text{[math]}$ i oblicz wysokość graniastosłupa.