Oblicz największą możliwą objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego pole powierzchni całkowitej wynosi .

Oznacz jako:

– krawędź podstawy graniastosłupa

– wysokość graniastosłupa

Zapisz wzór na pole całkowite graniastosłupa.

Zauważ, że graniastosłup całkowity sześciokątny ma dwie podstawy, z których każda składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku długości oraz 6 prostokątów będących ścianami bocznymi, o wymiarach na Na tej podstawie zapisz jego pole całkowite używając zmiennych i

Z powyższego równania wyznacz wartość

Wyznacz dziedzinę powyższego równania, zauważ, że obie zmienne muszą być dodatnie.

Z powyższej nierówności wyznacz wartość

Zapisz szukaną dziedzinę.

Zapisz wzór na objętość graniastosłupa.

Pod powyższe równanie podstaw znane wartości. Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej . Zapisz ją w najprostszej postaci.

Oblicz pochodną funkcji

Wyznacz miejsca zerowe powstałej pochodnej, czyli przyrównaj jej wartość do zera.

Z powstałego równania wyznacz wartość

Zaznacz obliczone rozwiązanie na osi. Wykres zacznij rysować od dołu ponieważ współczynnik stojący przy z największą potęgą jest ujemny. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale ma jedno miejsce zerowe i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja rośnie w przedziale ,a maleje w przedziale . Więc będzie do największa wartość pochodnej.

Oblicz objętość graniastosłupa dla najdłuższej wartości krawędzi.