Udowodnij, że odcinek
jest dwusieczną kąta
, jeśli odcinek
jest średnicą, a punkt
środkiem okręgu opisanego na trójkącie
, punkt
leży na tym okręgu, a odcinek
zawarty jest w symetralnej boku
trójkąta.
– punkt przecięcia odcinków DS i BC
Trójkąt ASD jest równoramienny,
.
Odcinek AD jest dwusieczną kąta CAB. To kończy dowód.
Oznacz jako:
– punkt przecięcia odcinków DS i BC
Skorzystaj z tego, że jeśli środek boku trójkąta, jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, to trójkąt ten jest prostokątny.
Oznacz jako:
Na tej podstawie zapisz miarę kątów BAC i BSK. Skorzystaj z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi
.
Zauważ, że kąty ASD i BSK są przyległe, więc suma ich miar wynosi
. Na tej podstawie wyznacz miarę pierwszego z nich.
Zauważ, że trójkąt ASD jest równoramienny:
, ponieważ jego ramiona są jednocześnie promieniami okręgu opisanego na trójkącie.
Oznacza to, że miara katów przy podstawie trójkąta ASD jest równa. Wyznacz je.
Oblicz miarę kąta DAC. Zauważ, że jest on równy różnicy kątów BAC i SAD.
Ponieważ
, to odcinek AD dzieli kąt CAB na pół, więc jest jego dwusieczną.