Udowodnij, że dla każdej liczby dodatniej spełniona jest nierówność

Pomnóż całą nierówność przez . Zauważ, że możesz to zrobić, ponieważ z treści zadania wiesz, że jest liczbą dodatnią, więc znak nierówności pozostanie bez zmian.

Przenieś wszystkie wartości na lewą stronę nierówności.

Przyrównaj nierówność do zera, aby obliczyć miejsca zerowe powyższej nierówności.

Zauważ, że liczba 2 jest jednym z rozwiązań powyższego równania, ponieważ:

Skorzystaj ze schematu Hornera. Narysuj tabelę. W pierwszym wierszu wpisz wszystkie kolejne współczynniki uporządkowanego równania. W lewym dolnym rogu najniższego wiersza tabelki wpisz liczbę, która jest jego jednym z rozwiązań, czyli 2. Przepisz pierwszy współczynnik bez zmian do dolnego wiersza. Tak otrzymaną liczbę 1 pomnóż przez liczbę 2, następnie dodaj liczbę 0. Wynik będący liczbą 2 wpisz do kolejnej komórki dolnego wiersza w schemacie Hornera. Podobnie postępuj z kolejnymi współczynnikami wielomianu.

Liczby powstałe w dolnym wierszu są współczynnikami trójmianu. Zapisz powyższe równanie za pomocą iloczynu dwóch nawiasów.

Oblicz pozostałe rozwiązania równania. Zauważ, że powyższe równanie jest równe zero, gdy któryś z nawiasów zeruję się. Rozwiązanie pierwszego nawiasu już znasz. Oblicz deltę i miejsca zerowe drugiego nawiasu, aby wyznaczyć jego rozwiązania.

Zapisz równanie za pomocą iloczynu obliczonych rozwiązań.

Wróć do nierówności.

Kwadrat różnicy jest zawsze liczbą nieujemną: . Ponieważ jest liczbą dodatnią, to dwumian jest na pewno większy od zera: . Iloczyn liczby nieujemnej i dodatniej jest zawsze liczbą większą lub równą zero.

To kończy dowód.