Oblicz długość boków trójkąta równoramiennego o obwodzie , dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wzdłuż podstawy jest największa.

Oznacz jako:

– podstawa trójkąta

– ramię trójkąta

Wykonaj rysunki pomocnicze:

Na podstawie rysunków zauważ, że:

– promień podstawy każdego ze stożków

– tworząca każdego ze stożków

- wysokość każdego ze stożków

Zapisz obwód trójkąta za pomocą zmiennych i oraz i

Z powyższego równania wyznacz wartość tworzącej stożka, czyli

Zauważ, że aby trójkąt istniał, to promień musi mieć długość mniejszą niż tworząca oraz jego długość musi być większa od zera.

Na tej podstawie wyznacz dziedzinę, do której należy

Zauważ, że trójkąt zawierający promień, wysokość i tworzącą stożka jest prostokątny. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa aby obliczyć długość wysokości.

Pod powyższe równanie podstaw wyznaczoną wartość

Zauważ wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i z powyższego równania wyznacz wartość

Zapisz wzór na objętość bryły przedstawionej na rysunku, czyli dwóch stożków, każdy o promieniu i wysokości

Pod wzór na objętość podstaw wyznaczoną wartość . Zauważ, że powstała funkcja zmiennej Przedstaw jej wzór w najprostszej postaci.

Oblicz pochodną funkcji

Wyznacz miejsca zerowe powstałej pochodnej, czyli przyrównaj jej wartość do zera.

Z powstałego równania wyznacz wartość

Zaznacz obliczone rozwiązanie na osi. Wykres zacznij rysować od dołu, ponieważ współczynnik stojący przy z największą potęgą jest ujemny. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale ma jedno miejsce zerowe i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja rośnie w przedziale ,a maleje w przedziale . Więc będzie to największa wartość pochodnej.

Oblicz długości boków i trójkąta, dla których powstała bryła ma największą objętość.