Oblicz największe wymiary i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego suma długości trzech różnych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

ODP: Największa objętość graniastosłupa wynosi $\text{[math]}$

Wykonaj rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiesz, że suma długości dwóch krawędzi podstawy i wysokości wynosi $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Z powstałego równania wyznacz wartość $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Wyznacz dziedzinę powyższego równania, zauważ, że obie zmienne muszą być dodatnie.

$\text{[math]}$

Z powyższej nierówności wyznacz wartość $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Zapisz szukaną dziedzinę.

$\text{[math]}$

Zapisz wzór na objętość graniastosłupa.

$\text{[math]}$

Pod powyższe równanie podstaw znane wartości. Zauważ, że powstanie funkcja zmiennej $\text{[math]}$ . Zapisz ją w najprostszej postaci.

$\text{[math]}$

Oblicz pochodną funkcji $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Wyznacz miejsca zerowe powstałej pochodnej, czyli przyrównaj jej wartość do zera.

$\text{[math]}$

Z powstałego równania wyznacz wartość $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Zaznacz obliczone rozwiązania na osi. Ramiona paraboli skieruj do dołu ponieważ współczynnik stojący przy $\text{[math]}$ z największą potęgą jest ujemny. Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny.

Oznacza to, że pochodna w przedziale $\text{[math]}$ ma jedno miejsce zerowe $\text{[math]}$ i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja $\text{[math]}$ rośnie w przedziale $\text{[math]}$ ,a maleje w przedziale $\text{[math]}$ . Więc będzie do największa wartość pochodnej.