Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zbiór zadań, Wydawnictwo: Nowa Era

Poprzednie

Zadanie 2. Karabin, : 2.2. - strona 214

Następne

Wykonaj konieczne obliczenia i sprawdź, czy prędkość fragmentu pocisku poruszającego się rzutem ukośnym wynosiła około 290 $\frac{m}{s}$ , wiedząc, że pocisk o masie 20 g wystrzelono pod kątem 45° z prędkością 200 $\frac{m}{s}$ , a on w najwyższym możliwym położeniu rozpadł się na dwie identyczne części – jeden wzbił się pionowo na 100 metrów w górę, a drugi poruszał się jak ciało rzucone ukośnie.

Dane:

m = 20 g = 0,02 kg

h = 100 m

α = 45°

v = 200 $\frac{m}{s}$

Niech oś pozioma będzie zwrócona zgodnie z kierunkiem ruchu pocisku sprzed wybuchu, a oś pionowa będzie zwrócona pionowo w górę.

Rozłóżmy prędkość na składowe – pionową i poziomą:

$v_{pion} = vsinα$ $v_{poz} = vcosα$

Prędkość pozioma odpowiada za poruszanie się do przodu, a pionowa – za wznoszenie się.

Z zasady zachowania pędu:

$m \vec{v} = \frac{m}{2} {\vec{v}}_{1} + {\frac{m}{s} \vec{v}}_{2}$

Rozpisując na składowe:

${\begin{matrix} v_{pion} = \frac{1}{2} v_{1 pion} + \frac{1}{2} v_{2 pion} \\ v_{poz} = \frac{1}{2} v_{1 poz} + \frac{1}{2} v_{2 poz} \end{matrix}$

Uwzględniając prędkość pocisku przed wybuchem:

${\begin{matrix} 0 = \frac{1}{2} v_{1 pion} + \frac{1}{2} v_{2 pion} \\ v \cos α = \frac{1}{2} v_{2 poz} \end{matrix}$

czyli:

${\begin{matrix} v_{1 pion} = - v_{2 pion} \\ v_{2 poz} = 2 v \cos α \end{matrix}$

Pozostaje nam wyznaczyć prędkość, z jaką poruszał się po wybuchu pierwszy kawałek:

Z zasady zachowania energii:

$E_{pocz} = E_{kon}$ $mgh = \frac{m v_{1}^{2}}{2}$ $v_{1} = \sqrt{2 gh}$

a więc prędkość fragmentu drugiego wygląda następująco:

${\begin{matrix} v_{2 poz} = 2 v cosα \\ v_{2 pion} = - \sqrt{2 gh} \end{matrix}$

Prędkość fragmentu można wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$v_{2} = \sqrt{{(2 v cosα)}^{2} + {(- \sqrt{2 gh})}^{2}} = \sqrt{4 v^{2} \cos^{2} α + 2 gh}$ $v_{2} = 286 \frac{m}{s} \approx 290 \frac{m}{s}$ Odpowiedź: Prędkość drugiego fragmentu po wybuchu wyniosła około $290 \frac{m}{s}$ .

Na początek rozłóż prędkość początkową na składowe – poziomą oraz pionową. Zauważ, gdy pocisk znajdzie się na maksymalnej wysokości, prędkość pionowa (odpowiadająca za wznoszenie się) wyniesie zero. Wtedy pocisk porusza się tylko z prędkością poziomą. Zastosuj zasadę zachowania pędu wzdłuż każdej z osi. Zwróć uwagę, prędkość pozioma pocisku sprzed wybuchu to składowa pozioma prędkości początkowej, a prędkość pozioma pierwszego fragmentu po wybuchu wynosi zero. Prędkość pionowa pocisku sprzed wybuchu jest równa zero. Prędkość pierwszego kawała pocisku wyznacz, stosując zasadę zachowania energii (energia początkowa to energia kinetyczna, a po wzniesieniu się o 100 metrów, energia mechaniczna to energia potencjalna). Gdy znasz już składowe wartości prędkości drugiego fragmentu, skorzystaj z twierdzenie Pitagorasa, gdyż szukana prędkość to suma wektorowa składowych (więc tworzą trójkąt prostokątny, gdzie szukana prędkość jest przeciwprostokątną).