Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony. Zbiór zadań - rozwiązania i odpowiedzi

Zbiór zadań, Wydawnictwo: Nowa Era

Poprzednie

Zadanie 3. Klik–klak, : 3.2. - strona 214

Następne

Oblicz prędkość kul przed i po zderzeniu sprężystym, wiedząc, że kule zawieszono na sznurkach o długości 0,8 m, kulę o masie 800 g odchylono o 90 stopni i puszczono, by zderzyła się centralnie z kulą o masie 400 g.

Dane:

m1 = 400 g = 0,4 kg

m2 = 800 g = 0,8 kg

l = 0,8 m

α = 90°

$g = 10 \frac{m}{s^{2}}$

Niech oś układu współrzędnych będzie zwrócona zgodnie z ruchem cięższej kuli sprzed zderzenia.

Z zasady zachowania energii dla cięższej kuli:

$E_{pocz} = E_{kon}$ $m_{2} gl = \frac{m_{2} v_{02}^{2}}{2}$ $v_{02} = \sqrt{2 gl}$ $v_{02} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{m}{s^{2}} \cdot 0,8}$ $v_{02} = 4 \frac{m}{s}$

W przypadku zderzenia sprężystego zostaje zachowany pęd i energia kinetyczna kul.

Po uwzględnieniu zwrotu wektora prędkości każdej z kul:

${\begin{matrix} m_{2} v_{02} = - m_{2} v_{2 k} + m_{1} v_{1 k} \\ \frac{m_{2} v_{02}^{2}}{2} = \frac{m_{2} v_{2 k}^{2}}{2} + \frac{m_{1} v_{1 k}^{2}}{2} \end{matrix}$

czyli:

${\begin{matrix} m_{2} (v_{02} + v_{2 k}) = m_{1} v_{1 k} \\ m_{2} (v_{02}^{2} - v_{2 k}^{2}) = m_{1} v_{1 k}^{2} \end{matrix}$

po podzieleniu drugiej równości przez pierwszą:

$v_{02} - v_{2 k} = v_{1 k}$

Zastępując równanie kwadratowe otrzymanym równaniem liniowym:

${\begin{matrix} m_{2} (v_{02} + v_{2 k}) = m_{1} v_{1 k} \\ v_{02} - v_{2 k} = v_{1 k} \end{matrix}$

otrzymujemy:

$v_{1 k} = \frac{2 m_{2} v_{02}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2 \sqrt{2 gl} {\cdot m}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ $v_{2 k} = \frac{v_{02} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = \frac{\sqrt{2 gl} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}}$

Po wstawieniu wartości liczbowych:

$v_{1 k} = \frac{2 \cdot 4 \frac{m}{s} \cdot 0,8 kg}{0,4 kg + 0,8 kg} = 5,33 \frac{m}{s}$ $v_{2 k} = \frac{4 \frac{m}{s} \cdot (0,4 kg - 0,8 kg)}{0,4 kg + 0,8 kg} = - 1,33 \frac{m}{s}$ Odpowiedź: Przed zderzeniem cięższa kulka poruszała się z prędkością 4 $\frac{m}{s}$ , a po zderzeniu uzyskała ona prędkość 1,33 $\frac{m}{s}$ o zwrocie przeciwnym do zwrotu sprzed zderzenia, a lżejsza kulka po zderzeniu osiągnęła prędkość 5,33 $\frac{m}{s}$ i poruszała się zgodnie z ruchem uderzającej kulki sprzed zderzenia.

Prędkość wychylonej kuli poznasz, stosując zasadę zachowania energii – energia początkowa to energia potencjalna kulki na wysokości l od poziomu odniesienia (położenia równowagi), a energia końcowa to energia kinetyczna zaraz przed zderzeniem. Gdy dochodzi do zderzenia sprężystego, pęd i energia kinetyczna kul zostaje zachowana – zapisz odpowiedni układ równań (zwróć uwagę na zwroty wektorów prędkości – jeżeli są zgodne z ustalonym zwrotem osi, zapisz je ze znakiem plus, jeżeli nie – ze znakiem minus). Wyłącz przed nawiasy powtarzające się masy i pomnóż drugie równanie, pozbywając się ułamka. Podziel drugie równanie przez pierwsze (skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: a2 – b2 = (a – b)(a + b)). Otrzymane równanie liniowe użyj w układzie równań zamiast równania kwadratowego. Zauważ, ujemny wynik oznacza, że kula po wektor prędkości kuli po zderzeniu ma zwrot przeciwny do osi układu współrzędnych.