Udowodnij, że suma współczynników $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ rozwinięcia dwumianu Newtona dla $k$ parzystego jest równa sumie współczynników dla $k$ nieparzystego.

Ze wzoru na dwumian Newtona: ${(a + b)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) a^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) a^{n - 1} b + \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) a b^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) b^{n}$ . Niech $a = 1, b = - 1$ :Dla $n$ parzystego: $0 = {(1 + (- 1))}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot 1^{n} \cdot {(- 1)}^{0} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) \cdot 1^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \cdot 1^{n - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) \cdot 1^{0} \cdot {(- 1)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) - \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix})$ $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) - \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 0$ $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix})$ Suma współczynników dla $k$ parzystego jest równa sumie współczynników dla $k$ nieparzystego.Dla $n$ nieparzystego: $0 = {(1 + (- 1))}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot 1^{n} \cdot {(- 1)}^{0} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) \cdot 1^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \cdot 1^{n - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) \cdot 1^{1} \cdot {(- 1)}^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) \cdot 1^{0} \cdot {(- 1)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) - \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix})$ $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) - \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 0$ $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix})$ Suma współczynników dla $k$ parzystego jest równa sumie współczynników dla $k$ nieparzystego.