Wiedząc, że n to ilość strzałów strzelca, przy czym każdy k-strzał może spudłować z prawdopodobieństwem
, dla k = 1, 2, …, n, udowodnij, że
opisuje szanse na trafienie wszystkich strzałów.
A - zdarzenie, w którym strzelec pudłuje w k-tym strzale
A’ – zdarzenie, w którym strzelec trafia w k-tym strzale.
B – zdarzenie, w którym strzelec trafia wszystkie n strzałów.
Oblicz szansę na trafienie w k-tym strzale:
Oblicz prawdopodobieństwo trafienia we wszystkich strzałach:
Zauważ, że możesz skrócić wszystkie mianowniki dwa razy poza 22 oraz (n+1)2, a jedyny licznik jaki pozostanie to n+2:
Co kończy dowód.
Pamiętaj, że jeśli zdarzenia są niezależne to spełniają równość
. Wykorzystaj własność prawdopodobieństwa
, aby obliczyć prawdopodobieństwo trafienia za k-tym strzałem. Zwróć uwagę na to, że te zdarzenia są niezależne, a więc ich prawdopodobieństwem będzie iloczyn poszczególnych udanych strzałów. Następnie zapisz kilka pierwszych wyrazów i kilka ostatnich wyrazów, prawdopodobieństwa zdarzenia, w którym strzelec trafia wszystkie n strzałów. Zauważ, że w każdym ułamku możesz skrócić mianownik z dwoma sąsiadującymi ułamkami, jedynymi wyjątkami są ułamki z mianownikiem
oraz
ponieważ mają tylko jeden sąsiadujący ułamek. Jedynym licznikiem, który nie zostanie skrócony, będzie n+2.
Zadanie 4.1.
70Zadanie 4.2.
70Zadanie 4.3.
70Zadanie 4.4.
70Zadanie 4.5.
70Zadanie 4.6.
71Zadanie 4.7.
71Zadanie 4.8.
71Zadanie 4.9.
71Zadanie 4.10.
71Zadanie 4.11.
71Zadanie 4.12.
72Zadanie 4.13.
72Zadanie 4.14.
72Zadanie 4.15.
72Zadanie 4.16.
72Zadanie 4.17.
73Zadanie 4.18.
73Zadanie 4.19.
73Zadanie 4.20.
73Zadanie 4.25.
74Zadanie 4.28.
74Zadanie 4.29.
74Zadanie 4.30.
74Zadanie 4.36.
75Zadanie 4.38.
75Zadanie 4.39.
75Zadanie 4.40.
76Zadanie 4.41.
76Zadanie 4.45.
76Zadanie 4.46.
76Zadanie 4.47.
77Zadanie 4.50.
77Zadanie 4.51.
77Zadanie 4.53.
78Zadanie 4.54.
78Zadanie 4.55.
78Zadanie 4.56.
79Zadanie 4.57.
79Zadanie 4.58.
79Zadanie 4.59.
79Zadanie 4.60.
79Zadanie 4.61.
80Zadanie 4.62.
80Zadanie 4.63.
80Zadanie 4.64.
80Zadanie 4.65.
80Zadanie 4.66.
81Zadanie 4.67.
81Zadanie 4.68.
81Zadanie 4.70.
81Zadanie 4.74.
81Zadanie 4.81.
82Zadanie 4.82.
83Zadanie 4.83.
83Zadanie 4.84.
83Zadanie 4.85.
83Zadanie 4.86.
83Zadanie 4.87.
83Zadanie 4.88.
83Zadanie 4.89.
84Zadanie 4.93.
84Zadanie 4.94.
84Zadanie 4.95.
84Zadanie 4.96.
84Zadanie 4.97.
85Zadanie 4.98.
85Zadanie 4.99.
85Zadanie 4.100.
85Zadanie 4.101.
85Zadanie 4.102.
85Zadanie 4.103.
86Zadanie 4.104.
86Zadanie 4.106.
86Zadanie 4.107.
86Zadanie 4.109.
86Zadanie 4.111.
87Zadanie 4.116.
87Zadanie 4.118.
88Zadanie 4.119.
88Zadanie 4.120.
88Zadanie 4.121.
88Zadanie 4.128.
89Zadanie 4.129.
89Zadanie 4.130.
89Zadanie 4.131.
89Zadanie 4.132.
90Zadanie 4.133.
90Zadanie 4.134.
90Zadanie 4.135.
90Zadanie 4.136.
90Zadanie 4.137.
91Zadanie 4.138.
91Zadanie 4.139.
91Zadanie 4.140.
91Zadanie 4.141.
91Zadanie 4.145.
92Zadanie 4.146.
92Zadanie 4.147.
92Zadanie 4.148.
92Zadanie 4.149.
93Zadanie 4.150.
93Zadanie 4.153.
94Zadanie 4.154.
94Zadanie 4.157.
94Zadanie 4.162.
95Zadanie 4.172.
97Zadanie 4.173.
97Zadanie 4.174.
97Zadanie 4.179.
98Zadanie 4.185.
99Zadanie 4.219.
104Zadanie 4.188.
99Zadanie 4.189.
99Zadanie 4.190.
100Zadanie 4.193.
100Zadanie 4.194.
100Zadanie 4.195.
100Zadanie 4.197.
101Zadanie 4.198.
101Zadanie 4.199.
101Zadanie 4.200.
101Zadanie 4.201.
101Zadanie 4.202.
101Zadanie 4.203.
101Zadanie 4.211.
102Zadanie 4.212.
103Zadanie 11.
106Zadanie 12.
106Zadanie 13.
107Zadanie 15.
107Zadanie 17.
107Zadanie 18.
107Zadanie 19.
107Zadanie 20.
108Zadanie 22.
108Zadanie 23.
108Zadanie 24.
108Zadanie 25.
108Zadanie 26.
109Zadanie 27.
109Zadanie 28.
109Zadanie 31.
109Zadanie 32.
109Zadanie 38.
110Zadanie 39.
110Zadanie 40.
110