W tym zadaniu należy wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami ciągu utworzonego z elementów zbioru .

Określamy zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. Opiszmy zdarzenie, kiedy dwie cyfry parzyste są obok siebie, a trzecia nie sąsiaduje z nimi. Mamy 6 możliwości zapisania 2 liczb parzystych i każdy z 6 sposobów ma 5 sposobów dopisania trzeciej liczby parzystej, tak aby nie sąsiadowała ona z wspomnianymi dwiema. Drugim zdarzeniem jest sytuacja, kiedy trzy cydry parzyste są obok siebie. Dodajmy je do siebie i mamy zdarzenie . Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczmy ze wzoru:.

Nazwa działu: Zestawy maturalne (116)

Nazwa tematu: 1. Zestaw 1 (116)

Numer zadania: 1.

Treść zadania:

Mediana liczb spełniających równanie jest równa:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić medianę pierwiastków spełniających równanie .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: A

Wyjaśnienie:

Zauważ, że wartość bezwzględna z danego wyrażania nie może być ujemna. Mediana z parzystej liczby wyrazów to połowa sumy dwóch najbardziej wewnętrznych wyrazów.

Numer zadania: 2.

Treść zadania:

Suma pierwiastków równania jest równa:

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć sumę rozwiązań równania .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: D.

Wyjaśnienie:

Skorzystaj ze wzorów Viete’a na sumę pierwiastków równania.

Numer zadania: 3.

Treść zadania:

Ciąg o wyrazie ogólnym :

jest rozbieżny do jest zbieżny do jest zbieżny do 0,nie ma granicy.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wybrać poprawną odpowiedź dotyczącą ciągu o wyrazie ogólnym .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: B

Wyjaśnienie:

Rozpisz dwumian Newtona i zauważ, że wyraz ogólny ciągu jest równy .

Numer zadania: 4.

Treść zadania:

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa:

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: C

Wyjaśnienie:

Oblicz wartość wielomianu w(x) dla .

Numer zadania: 5.

Treść zadania:

Równość jest tożsamością trygonometryczną dla:

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wybrać wartość kąta gamma, aby równanie było tożsamością trygonometryczną.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: C

Wyjaśnienie:

Korzystaj ze wozu na różnicę cosinusów. Przypomnij sobie, że .

Numer zadania: 6.

Treść zadania:

Wyznacz wartość p, dla której równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zakoduj cyfry dziesiątek, jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby p.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy znaleźć wartość parametru p, tak aby równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, jeżeli delta jest równa 0.

Numer zadania: 7.

Treść zadania:

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć sumę wszystkich wyrazów ciągu.

Rozwiązanie:

– spełnione

Wyjaśnienie:

Oblicz iloraz szeregu geometrycznego. Wartość bezwzględna tego ilorazu musi być mniejsza od 1. Skorzystaj ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

Numer zadania: 8.

Treść zadania:

Niech . Oblicz P(A), jeśli , oraz . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeżeli , oraz .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że relacje między zbiorami możemy zapisać w następujący sposób: oraz .

Numer zadania: 9.

Treść zadania:

Funkcja ma asymptotę poziomą i asymptotę pionową . Zakoduj trzy

pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć wartość wyrażenia , gdzie p i q to asymptoty funkcji .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Asymptota pionowa x to miejsce zerowania się mianownika (mianownik nie może być zerem, więc to miejsce jest asymptotą). Jeżeli granice w minus nieskończoności i nieskończoności są sobie równe, to znaczy, że ta wartość jest asymptotą poziomą y.

Numer zadania: 10.

Treść zadania:

Dana jest parabola. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli, jeśli styczna tworzy z osią OX kąt 120°.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać równanie stycznej do paraboli , jeśli styczna tworzy z osią OX kąt 120°.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tangensowi alfa i wartości pochodnej w punkcie styczności. Na tej podstawie wyznacz punkt styczności i zapisz równanie stycznej na podstawie równania .

Numer zadania: 11.

Treść zadania:

Dla jakich wartości parametru p zbiór wartości funkcji:

jest równy ?

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć takie wartości parametru p, aby zbiór wartości funkcji f był równy .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Parabola musi mieć ramiona skierowane w dół () oraz wierzchołek paraboli musi mieć wartość 2. Rozważ te dwa warunki i sprawdź, który z wyników spełnia te dwa kryteria.

Numer zadania: 12.

Treść zadania:

Ze zbioru {1,2,3,…, 100} losujemy ze zwracaniem dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A: iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 3.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest podzielny przez 3.

Rozwiązanie:

– co najmniej jedna liczba jest podzielna przez 3

– liczby podzielne przez 3

67 – liczby niepodzielne przez 3

Wyjaśnienie:

Oblicz ile liczb w podanych stu liczbach jest podzielne przez 3. Iloczyn dwóch liczb jest podzielny przez 3, jeżeli 1 z nich jest podzielna przez 3 lub obie są podzielne przez 3.

Numer zadania: 13.

Treść zadania:

Dane są wektory i . Wyznacz współrzędne wektora i oblicz cosinus kąta ABC.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić współrzędne wektora i oblicz cosinus kąta ABC, jeżeli i .

Rozwiązanie:

i

Wyjaśnienie:

Obliczamy wektor . Na zasadzie metody trójkąta, wektor wychodzący z jednego wierzchołka zsumowany z wektorem mającym początek w końcu pierwszego wektora jest równy wektorowi mającemu wspólny początek z pierwszym wektorem i wspólny koniec z drugim wektorem. Cosinus kąta między dwoma wektorami obliczamy jako iloraz iloczynu skalarnego i iloczynu długości tych wektorów.

Numer zadania: 14.

Treść zadania:

Prosta przecina okrąg o środku S(2, 4) w punktach A i B. Długość cięciwy AB wynosi . Wyznacz równanie tego okręgu.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać równanie tego okręgu o środku S(2, 4), jeżeli długość cięciwy AB wynosi .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Oblicz odległość środka okręgu od prostej AB. Oblicz promień z twierdzenia Pitagorasa. Zapisz równanie okręgu jako: , gdzie a i b to współrzędne środka okręgu, a r to promień okręgu.

Numer zadania: 15.

Treść zadania:

Dany jest ciąg arytmetyczny , w którym . Uzasadnij, że ciąg jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę trzech początkowych wyrazów ciągu .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wykazać, że ciąg jest ciągiem geometrycznym oraz wyznaczyć sumę trzech początkowych wyrazów ciągu

Rozwiązanie:

Ciąg jest geometryczny.

Wyjaśnienie:

Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego i jego różnicę. Wyznacz wzór ogólny ciągu . Ciąg jest geometryczny, kiedy jego iloraz jest stały, więc Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego i iloraz. Skorzystaj ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Numer zadania: 16.

Treść zadania:

Dany jest trójkąt ABC taki, że |AC❘ = 2|AB|. Miara kąta ACB jest o 30° mniejsza od miary kąta ABC. Oblicz tangens kąta ACB.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć tangens kąta ACB w trójkącie ABC, w którym |AC❘ = 2|AB, a miara kąta ACB jest o 30° mniejsza od kąta ABC.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia sinusów:

Wyjaśnienie:

Skorzystaj z twierdzenia sinusów. Rozpisz z e wzoru redukcyjnego. Wyznacz tangens alfa i usuń niewymierność z mianownika.

Numer zadania: 17.

Treść zadania:

Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i środki dwóch krawędzi górnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe 40,5 cm². Oblicz objętość tego sześcianu.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć objętość sześcianu przeciętego płaszczyzną o polu cm², która przechodzi przez przekątną dolnej podstawy i środki dwóch krawędzi górnej podstawy.

Rozwiązanie:

– długość krawędzi sześcianu

Wyjaśnienie:

Zauważ, że górna podstawa trapezu jest równa połowie przekątnej podstawy sześcianu, ponieważ płaszczyzna przecina górną podstawę w środkach krawędzi. Oblicz wysokość trapezu (płaszczyzny) z twierdzenia Pitagorasa. Oblicz długość krawędzi sześcianu i wyznacz objętość.

Numer zadania: 18.

Treść zadania:

Trawnik w kształcie prostokąta o polu 128 m² ma być otoczony chodnikiem. Jego szerokości po przeciwległych stronach trawnika są takie same – wynoszą 2 m i 1 m (rysunek obok). Jakie wymiary powinien mieć trawnik, aby chodnik zajmował najmniejszą powierzchnię?

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć wymiary prostokątnego trawnika o polu 128 m² tak, aby zajmował najmniejszą powierzchnię.

Rozwiązanie:

Pole chodnika:

Wymiary chodnika:

Wyjaśnienie:

Zapisz pole chodnika jako funkcję uzależnioną od x. Zapisz dziedzinę, że x i y muszą być większe od 0. Oblicz pochodną funkcji pola i zapisz przedziały monotoniczności, aby określić minimum lokalne. Oblicz wymiary chodnika.

Nazwa tematu: 2. Zestaw 2 (119)

Numer zadania: 1.

Treść zadania:

Ile punktów o obu współrzędnych całkowitych należy do wykresu funkcji ?

3468

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić ilość punktów o współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: D

Wyjaśnienie:

Sprowadź funkcję do postaci . Zauważ, że szóstka w liczniku po podzieleniu przez wartość mianownika musi być liczbą całkowitą.

Numer zadania: 2.

Treść zadania:

Ile rozwiązań ma równanie ?

123

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć ilość rozwiązań równania .

Rozwiązanie:

Brak ekstremów.

Funkcja jest rosnąca.

Funkcja przecina oś OX w jednym miejscu – istnieje jeden pierwiastek

Wyjaśnienie:

Oblicz pochodną funkcji zależnej od x. Funkcja ta nie ma ekstremów, jest określona w zbiorze liczb rzeczywistych i jest stale rosnąca – to dowodzi, że ma dokładnie 1 miejsce zerowe.

Numer zadania: 3.

Treść zadania:

Ciąg jest określony rekurencyjnie:

Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:

-12-44

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć czwarty wyraz ciągu .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: A.

Wyjaśnienie:

Oblicz po kolei drugi, trzeci i czwarty wyraz ciągu.

Numer zadania: 4.

Treść zadania:

Podstawy trapezu prostokątnego opisanego na okręgu mają długości 4 cm i 8 cm. Wysokość

tego trapezu jest równa:

4 cmcmcmcm

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć długość wysokości trapezu prostokątnego opisanego na okręgu.

Rozwiązanie:

– ramię trapezu

Odpowiedź: C

Wyjaśnienie:

Skoro trapez jest opisany na okręgu, to suma podstaw jest równa sumie ramion. Ramię c jest równe . Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokość trapezu.

Numer zadania: 5.

Treść zadania:

Granica jest równa:

124

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć granicę.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Usuń niewymierność z mianownika. Skorzystaj ze wzoru .

Numer zadania: 6.

Treść zadania:

Wyznacz największą liczbę naturalną n, dla której pochodna funkcji spełnia warunek . Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć sześcian największej liczby naturalnej n, dla której pochodna funkcji spełnia warunek .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Oblicz pochodną funkcji f i jej maksimum lokalne. Utożsamiamy x i n jako jedną liczbę. Wybierz z przedziału największą liczbę naturalną z przedziału i podnieś ją do sześcianu.

Numer zadania: 7.

Treść zadania:

Liczbę zapisz w postaci , gdzie . Oblicz . Zakoduj cyfry:

setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać w postaci i określić wartość .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia i usuń niewymierność z mianownika.

Numer zadania: 8.

Treść zadania:

W trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 6 cm i kącie ostrym 30° wpisano okrąg o promieniu a cm. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby a.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć długość promienia okręgu, jeżeli w ten okrąg wpisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 6 cm i kącie ostrym 30°.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Wprowadzamy oznaczenie . Jedna z przyprostokątnych ma 3 cm długości. Korzystamy z funkcji tangensa – układamy iloraz promienia okręgu do przyprostokątnej pomniejszonej o jeden promień okręgu. Z tego równania obliczamy długość promienia:

Numer zadania: 9.

Treść zadania:

Wyznacz wiedząc, że jest kątem ostrym oraz . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć , jeżeli jest kątem ostrym oraz .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Skorzystaj ze wzoru . Sinus i cosinus są dodatnie, ponieważ kąt alfa jest ostry.

Numer zadania: 10.

Treść zadania:

są zdarzeniami losowymi takimi, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest trzy razy większe od prawdopodobieństwa zdarzenia B. Oblicz wartości tych prawdopodobieństw, wiedząc, że oraz zdarzenia A i B są rozłączne.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić prawdopodobieństwo zdarzenia A oraz B, jeżeli oraz zdarzenia A i B są rozłączne.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że iloczyn zbirów A i B jest równy 0, ponieważ zbiory są rozłączne. Zapiszmy równanie . Teraz z równania wyznaczamy prawdopodobieństwo sumy zbiorów jako . Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A i B.

Numer zadania: 11.

Treść zadania:

Naszkicuj wykres funkcji . Dla jakich wartości parametru m równanie ma jedno rozwiązanie?

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy naszkicować wykres funkcji f oraz wyznaczyć wartości parametru m, dla których równanie ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

1 rozwiązanie dla

Wyjaśnienie:

Przekształć funkcję f do postaci . Naszkicuj wykres , a następnie odbij to, co pod osią nad nią, by powstał wykres .

Numer zadania: 12.

Treść zadania:

Okrąg o środku S przecina oś OX w punktach A(-2,0) i B(8,0). Odcinek A'B' jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali i środku w punkcie S. Wyznacz współrzędne punktów A' i B'.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy znaleźć współrzędne punktów A' i B', jeżeli odcinek A'B' jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Wyznacz środek okręgu i jego promień. Na podstawie informacji o jednokładności oblicz punkty A’ i B’: oraz

Numer zadania: 13.

Treść zadania:

Wyznacz wszystkie wartości parametrów p i q, dla których nierówność:

jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy znaleźć wartości parametrów p i q, dla których nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że nierówność jest spełniona, jeśli, czyli . Po wymnożeniu nawiasów należy porównać współczynniki.

Numer zadania: 14.

Treść zadania:

W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę , wpisano kulę. Wyznacz , jeżeli pole podstawy stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć tangens kąta alfa, jeżeli w stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę , wpisano kulę.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Ze stosunku pola podstawy stożka i pola powierzchni kuli ustal zależność promienia stożka od promienia kuli. Zauważ, że: .

Numer zadania: 15.

Treść zadania:

Dany jest ciąg , którego suma n początkowych wyrazów jest równa . Wyznacz wzór ogólny tego ciągu i wykaż, że ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać wzór ogólny ciągu i wykazać, że ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie:

Ciąg jest ciągiem geometrycznym, ponieważ iloraz ciągu q jest stały.

Wyjaśnienie:

Wyznacz pierwszy wyraz ciągu jako . Zauważ, że wzór ogólny ciągu możemy obliczyć poprzez odjęcie od sumy n wyrazów, sumę n – 1 wyrazów. Wyznacz iloraz ciągu jako . Jeżeli okaże się stały, to ciąg jest geometryczny.

Numer zadania: 16.

Treść zadania:

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie:

Ma dwa różne pierwiastki i tego samego znaku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne pierwiastki i tego samego znaku.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania tych samych znaków, to delta wyrażenia musi być większa od 0 i iloczyn pierwiastków (korzystamy ze wzorów Viete’a) musi być większy od zera. Wyznaczamy przedziały, w których sinus spełnia postawione warunki i rysujemy wykres sinusa. Rozpatrujemy do w dziedzinie . Z wykresu funkcji sinus wypisujemy przedziały rozwiązań.

Numer zadania: 17.

Treść zadania:

Przekątne równoległoboku mają długości 10 i 26. Oblicz obwód tego równoległoboku, jeżeli jego pole jest równe 78.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć obwód równoległoboku, jeżeli jego pole jest równe 78, a jego przekątne mają długości 10 i 26.

Rozwiązanie:

Obliczmy pola czterech trójkątów, na które przekątne dzielą równoległobok.

Wyjaśnienie:

Zauważ, że pole równoległoboku możemy obliczyć jako sumę 4 trójkątów, których pola obliczymy ze wzoru . Wyznaczmy sinus kąta alfa. Z jedynki trygonometrycznej obliczamy wartość cosinusa, dla kąta ostrego i dla kąta rozwartego. Z twierdzenia cosinusów obliczmy długości boków równoległoboku.

Numer zadania: 18.

Podpunkt: a)

Treść zadania:

W kwadrat ABCD o boku 2 wpisano trójkąt równoramienny AEF tak, że wierzchołek E leży na boku BC, a wierzchołek F – na boku CD oraz |AF| = |EF| (rysunek poniżej).

- Niech x = |BE. Wykaż, że funkcja:

opisuje pole trójkąta AEF dla .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy udowodnić, że funkcja opisuje pole trójkąta AEF dla .

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Pitagorasa:

Wyjaśnienie:

Oblicz na podstawie twierdzenia Pitagorasa długość boku . Skorzystaj z informacji, że . Zapisz pole trójkąta jako różnicę pola kwadratu i trzech pól trójkątów .

Podpunkt: b)

Treść zadania:

W kwadrat ABCD o boku 2 wpisano trójkąt równoramienny AEF tak, że wierzchołek E leży na boku BC, a wierzchołek F – na boku CD oraz |AF| = |EF (rysunek poniżej).

- Oblicz pole najmniejszego i największego z takich trójkątów.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć pole najmniejszego i największego z trójkątów utworzonych poprzez wpisanie w kwadrat ABCD o boku 2 trójkąta równoramiennego AEF.

Rozwiązanie:

Wartość maksymalna:

Wartość minimalna:

Wyjaśnienie:

Oblicz pochodną funkcji pola trójkąta. Wyznacz miejsca zerowe pochodnej i zapisz jej monotoniczność. Oblicz wartości dla skrajnych argumentów z przedziałów: i . Podaj maksymalną i minimalną wartość pola trójkąta.

Nazwa tematu: 3. Zestaw 3 (122)

Numer zadania: 1.

Treść zadania:

Proste i są prostopadłe dla pewnej liczby k należącej do

przedziału:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić, dla jakiej liczby k proste i są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: D

Wyjaśnienie:

Sprowadź proste do postaci kierunkowej. Proste są do siebie prostopadłe, kiedy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1.

Numer zadania: 2.

Treść zadania:

Z liczb od 1 do 100 wylosowano jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że jest to liczba podzielna przez 3, pod warunkiem że wylosowano liczbę parzystą, jest równe:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć prawdopodobieństwo, że liczba wylosowana spośród liczb od 1 do 100, jest podzielna przez 3, pod warunkiem że wylosowano liczbę parzystą.

Rozwiązanie:

A – liczby podzielne przez 3

B – liczba parzysta

– liczba parzysta podzielna przez 3

Odpowiedź: B

Wyjaśnienie:

Zastanów się, ile jest liczb parzystych w zbiorze liczb naturalnych od 1 do 100. Wypisz liczby parzyste podzielne przez 3.

Numer zadania: 3.

Treść zadania:

Granica jest równa:

0,2,4,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć wartość granicy .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: C

Wyjaśnienie:

Wyłącz niewymierność z mianownika ciągu. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia .

Numer zadania: 4.

Treść zadania:

Liczby i spełniają równanie:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wskazać równanie spełnione przez liczby i .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: A

Wyjaśnienie:

Zauważ, że po wyłączenie 2 przed nawias w liczbie x dostaniesz równanie . Oznacza to, że pierwsze równanie jest spełnione przez te liczby, ponieważ .

Numer zadania: 5.

Treść zadania:

Jeśli i to iloczyn jest równy:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać za pomocą liczb p i q liczbę .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: D

Wyjaśnienie:

Odwróć logarytm na logarytm .

Numer zadania: 6.

Treść zadania:

Liczba jest największym rozwiązaniem równania należącym do przedziału . Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy znaleźć największe rozwiązanie równania należącym do przedziału .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że jest równy . Rozważ dwa przypadki rozwiązań równania . Podstawiaj liczby całkowite za k i wpisz rozwiązania należące do przedziału. Wybierz największą wartość i wstaw do wyrażenia .

Numer zadania: 7.

Treść zadania:

Dany jest dwunastokąt foremny o obwodzie równym 12. Wybieramy losowo dwa wierzchołki tego dwunastokąta. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że odległość między wybranymi wierzchołkami jest równa 1. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że odległość między wybranymi wierzchołkami dwunastokąta foremnego o obwodzie równym 12 jest równa 1.

Rozwiązanie:

– długość boku dwunastokąta

Wyjaśnienie:

Zauważ, że odległość między wierzchołkami jest równa 1, tylko wtedy gdy rozpatrujemy odległość między wierzchołkami po obwodzie dwunastokąta. Z 12 wierzchołków wybieramy jednocześnie 2. Możliwości zdarzenia A jest 12. Oblicz to prawdopodobieństwo.

Numer zadania: 8.

Treść zadania:

Dana jest funkcja . Funkcja ƒ spełnia warunki: i . Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej . Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy znaleźć wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Skorzystaj ze wzoru . Oblicz pochodną funkcji g i jej wartość dla . Wszystkie dane dotyczące funkcji f są podane w treści zadania. Teraz wystarczy podstawić dane do powyższego wzoru.

Numer zadania: 9.

Treść zadania:

Proste i są styczne do okręgu o promieniu r. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby r.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy oblicz promień okręgu, jeżeli wiadomo, że funkcje i są styczne do tego okręgu.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że proste są do siebie równoległe, więc możemy oblicz odległość między nimi – jest ona równa średnicy okręgu. Średnica natomiast jest równa sumie dwóch promieni.

Numer zadania: 10.

Treść zadania:

Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF (rysunek obok). Niech oraz . Przedstaw wektor oraz wektor w postaci , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać wektory oraz w postaci , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Załóż, że środek sześciokąta jest oznaczony jako O. Na podstawie sumy wektorowej zachodzą równości: oraz, gdzie Wektor jest podwojonym wektorem .

Numer zadania: 11.

Treść zadania:

Udowodnij, że jeżeli , to prawdziwa jest nierówność .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wykazać prawdziwość nierówności .

Rozwiązanie:

Cały iloczyn jest ujemny.

Koniec dowodu.

Wyjaśnienie:

Rozłóż ze wozu skróconego mnożenia wyrażenia . Teraz wyłącz wspólny czynnik przed nawias, aby otrzymać postać . Zauważ, że i zapisz postać . W uzasadnieniu pokaż, że w nierówności dwa nawiasy przyjmują zawsze wartości dodatnie, co wynika z założenia, a jeden przyjmuje wartość ujemną. Iloczyn dwóch dodatnich liczb i jednej ujemnej jest ujemny, co kończy dowód.

Numer zadania: 12.

Treść zadania:

Zapisz liczbę 520 jako sumę czterech liczb całkowitych będących pierwszymi czterema wyrazami ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest o 104 mniejszy od trzeciego wyrazu.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy przedstawić liczbę 520 w postaci sumy czterech liczb całkowitych będących pierwszymi czterema wyrazami ciągu geometrycznego

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Zapisz układ równań na podstawie warunków zadania:

Z ilorazu:

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego. Określ wartość pierwszego wyrazu ciągu, pamiętając, że należy do zbioru liczb całkowitych. Zapisz liczbę 520 w postaci sumy tych czterech pierwszych wyrazów ciągu.

Numer zadania: 13.

Treść zadania:

Równanie ma dwa różne od zera pierwiastki i . Oblicz c, jeżeli wiadomo, że

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć współczynnik c w równaniu , jeżeli pierwiastki równania spełniają zależność: .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Aby równanie miało dwa różne pierwiastki, to wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być większy od zera. Wyznacz dziedzinę dla liczby c. Teraz na podstawie wzorów Viete’a oblicz wartość liczby c z wyrażenia . Wybierz to c, które należy do dziedziny.

Numer zadania: 14.

Treść zadania:

W loterii jest n losów, w tym 9 wygrywających. Zakupiono 2 losy. Wyznacz wszystkie wartości n, dla których prawdopodobieństwo, że oba losy są wygrywające, jest większe od 0,3.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy podać wartości n, dla których prawdopodobieństwo, że oba losy w loterii są wygrywające, jest większe od 0,3.

Rozwiązanie:

– wszystkie losy

– losy wygrywające

– losy przegrywające

Wyjaśnienie:

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch losów wygrywających można zapisać jako . Rozwiąż nierówność . Zauważ, że losów w loterii jest minimum 9 (wszystkie losy mogą być wygrywające). Wypisz te wartości liczby naturalnej n, które należą do obliczonego przedziału.

Numer zadania: 15.

Podpunkt: a)

Treść zadania:

Trzy różne pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny.

Oblicz wartość iloczynu pierwiastków wielomianu w.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć iloczyn pierwiastków wielomianu .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zapisz wielomian w postaci iloczynowej. Skorzystaj ze wzoru Viete’a na iloczyn trzech pierwiastków wielomianu.

Podpunkt: b)

Treść zadania:

Trzy różne pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny.

Wyznacz pierwiastki wielomianu w, wiedząc, że ich suma jest równa 18.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć pierwiastki wielomianu , wiedząc, że ich suma jest równa 18

Rozwiązanie:

– ciąg arytmetyczny

Wyjaśnienie:

Zapisz trzy wyrazy ciągu arytmetycznego jako: i oblicz a, wiedząc, że suma tych wyrazów jest równa 18. Teraz oblicz różnicę ciągu, korzystając z informacji z poprzedniego podpunktu: iloczyn tych wyrazów jest równy 192. Do każdej obliczonej możliwej różnicy tego ciągu oblicz trzy pierwsze wyrazy.

Podpunkt: c)

Treść zadania:

Trzy różne pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny.

Uzasadnij, że dla każdej liczby parzystej wielomian w przyjmuje wartość podzielną przez 16 i przez 24.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wykazać, że dla każdej liczby parzystej wielomian przyjmuje wartość podzielną przez 16 i przez 24

Rozwiązanie:

Wniosek: Iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 3, dodatkowo wielomian jest podzielny przez 8, czyli przez 24. Iloczyn dwóch kolejnych liczb jest podzielny przez dwa, dodatkowo całość jest podzielna przez 8, czyli wielomian w dzieli się przez 16.

Wyjaśnienie:

Podstaw pierwiastki wielomianu do postaci iloczynowej. Zamień x na i załóż, że należy do zbioru liczb całkowitych. Wyciągnij 8 przed nawias wielomianu. Sformułuj wniosek, że iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 3, dodatkowo wielomian jest podzielny przez 8, czyli przez 24. Iloczyn dwóch kolejnych liczb jest podzielny przez dwa, dodatkowo całość jest podzielna przez 8, czyli wielomian w dzieli się przez 16.

Numer zadania: 16.

Treść zadania:

W trójkącie ostrokątnym równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 2, , AD jest jego wysokością. Punkt P jest punktem przecięcia wysokości trójkąta ABC. Przedstaw iloraz jako funkcję zmiennej x i wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać iloraz jako funkcję zmiennej x i wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Rozwiązanie:

Na mocy twierdzenia cosinusów:

– kąt przy wierzchołku C

z cechy

Z pola trójkąta ABC:

Wyjaśnienie:

Skoro trójkąt jest ostrokątny, to kąt przy wierzchołku C musi być ostry. Oblicz dziedzinę na podstawie twierdzenia cosinusów. Teraz z wykorzystania podobieństwa trójkątów (cecha kąt – kąt – kąt) oblicz długość odcinka AP. Porównaj pola trójkąta ABC i wyznacz odcinek PD. Zapisz funkcję i dziedzinę.

Numer zadania: 17.

Podpunkt: a)

Treść zadania:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej wynosi (rysunek obok).

Wyznacz objętość V ostrosłupa jako funkcję jego wysokości x i podaj dziedzinę tej funkcji.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać objętość V ostrosłupa jako funkcję jego wysokości x i podaj dziedzinę tej funkcji.

Rozwiązanie:

(cecha kąt – kąt – kąt)

Dziedzina:

Wyjaśnienie:

Z twierdzenia Pitagorasa oblicz długość krawędzi bocznej k uzależnionej od x i długości podstawy a. Teraz na podstawie podobieństwa trójkątów (cecha kąt – kąt – kąt) oblicz długość krawędzi podstawy uzależnioną od wysokości ostrosłupa x. Zapisz objętość ostrosłupa i dziedzinę funkcji.

Podpunkt: b)

Treść zadania:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej wynosi (rysunek obok).

Dla jakiej wartości x objętość ostrosłupa jest najmniejsza? Oblicz tę objętość.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć taki x, dla którego objętość ostrosłupa jest najmniejsza.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Wyznacz pochodną funkcji. Znajdź jej ekstrem, przyrównując ją do zera i wyznaczając przedziały monotoniczności. Oblicz objętość minimalną.

Podpunkt: c)

Treść zadania:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej wynosi (rysunek obok).

Naszkicuj wykres funkcji V.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy naszkicować wykres funkcji .

Rozwiązanie:

Asymptota pionowa:

Asymptota pozioma:

Brak asymptoty poziomej, funkcja ciągła w całej dziedzinie.

Asymptota ukośna:

– asymptota ukośna

Wyjaśnienie:

Wyznacz asymptoty poziomą, pionową i ukośną. Naszkicuj wykres funkcji.

Nazwa tematu: 4. Zestaw 4 (125)

Numer zadania: 1.

Treść zadania:

Ile różnych rozwiązań ma równanie ?

123

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wskazać liczbę różnych rozwiązań równania .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: D

Wyjaśnienie:

Wyciągnij x przed nawias. Zastanów się, które liczby całkowite zerują poszczególne nawiasy.

Numer zadania: 2.

Treść zadania:

Styczna do paraboli w punkcie tworzy z osią OX kąt:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić kąt, jaki styczna do paraboli w punkcie tworzy z osią OX.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: D

Wyjaśnienie:

Wyznacz pochodną funkcji i oblicz jej wartość w punkcie styczności. Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi OX.

Numer zadania: 3.

Treść zadania:

Granica ciągu jest równa:

0,1,1,125,1,5.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć granicę ciągu .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: A

Wyjaśnienie:

Oblicz granicę ciągu w nieskończoności. Rozłóż wyrażanie na czynniki (wyłącz w liczniku i mianowniku ). Zauważ, że licznik dąży do 0.

Numer zadania: 4.

Treść zadania:

Do zbioru wartości funkcji nie należy liczba:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zdecydować, która z liczb nie należy do zbioru wartości funkcji .

Rozwiązanie:

Asymptota pozioma:

Odpowiedź: A

Wyjaśnienie:

Wyznacz asymptotę poziomą funkcji wymiernej – asymptota pozioma to wartość, której funkcja nigdy nie osiągnie.

Numer zadania: 5.

Treść zadania:

Jeśli to iloczyn jest równy:

-0,36,-0,48,-0,6,-0,72.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć wartość .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: B

Wyjaśnienie:

Wyznacz sinus alfa zależny do cosinusa (). Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i oblicz wartość sinusa i cosinusa. Zauważ, że alfa należy do IV ćwiartki układu współrzędnych.

Numer zadania: 6.

Treść zadania:

A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych x spełniających warunki:

Wyznacz liczbę elementów zbioru A. Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć liczbę elementów zbioru A, jeżeli jest on określony przez nierówności
.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Rozwiąż dwie nierówności i zapisz ich część wspólną. Podaj liczbę elementów zbioru A.

Numer zadania: 7.

Treść zadania:

Nieskończony ciąg geometryczny spełnia warunki: i . Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, jeżeli i .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Wyznacz iloraz szeregu z równania . Sprawdź, czy spełnia warunek . Oblicz sumę szeregu.

Numer zadania: 8.

Treść zadania:

Wyznacz największą liczbę całkowitą n taką, że punkt należy do koła o średnicy AB, jeśli i . Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić największą liczbę całkowitą n taką, że punkt należy do koła o średnicy AB.

Rozwiązanie:

i

Wyjaśnienie:

Wyznacz środek okręgu i jego promień. Punkt P należy do koła, więc jego odległość od środka jest mniejsza lub równa promieniowi.

Numer zadania: 9.

Treść zadania:

Niech . Oblicz , jeśli oraz . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić prawdopodobieństwo , jeśli oraz .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Dodatkowo oblicz , jeżeli .

Numer zadania: 10.

Treść zadania:

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B, a następnie przez punkt ich przecięcia prostą równoległą do boku AB. Prosta l przecina bok AC w punkcie D, a bok BC w punkcie F. Udowodnij, że .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wykazać, że w trójkącie ABC przeciętym prostą l zachodzi równość .

Rozwiązanie:

– trójkąty równoramienne

Co kończy dowód.

Wyjaśnienie:

Wykonaj rysunek pomocniczy. Zauważ, że trójkąty ADS i BFS są równoramienne.

Numer zadania: 11.

Treść zadania:

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji:

Oblicz a i wyznacz liczbę x, dla której spełniona jest równość .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć wartość liczby a w funkcji logarytmicznej oraz określić, dla jakiego x zachodzi równość.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Skoro punkt P należy do wykresu funkcji f, to podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru, wyliczysz podstawę logarytmu. Rozwiąż równanie i oblicz x.

Numer zadania: 12.

Treść zadania:

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie:

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić wartości parametru m, tak aby równanie miało jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Równanie ma tylko jedno rozwiązanie, jeżeli delta jest równa 0. Rozwiąż równanie kwadratowe na podstawie zmiennej pomocniczej t. Załóż, że .

Numer zadania: 13.

Treść zadania:

Ile jest dziesięciocyfrowych liczb naturalnych o iloczynie cyfr równym 8?

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić ilość liczb dziesięciocyfrowych naturalnych o iloczynie cyfr równym 8.

Rozwiązanie:

10 cyfr:

- jedna ósemka i 9 jedynek:

- trzy dwójki, reszta jedynki:

- dwójka i czwórka, reszta jedynki:

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Rozłóż ósemkę na czynniki. Są trzy możliwości zbudowania takich dziesięciocyfrowych liczb. Taka liczba może składać się z jednej ósemki i dziewięciu jedynek, trzech dwójek i siedmiu jedynek lub z jednej dwójki, jednej czwórki i ośmiu jedynek.

Numer zadania: 14.

Treść zadania:

W okrąg o promieniu r wpisano czworokąt ABCD taki, że kąt między styczną poprowadzoną do okręgu w punkcie A i bokiem AB ma miarę 60°. Wyznacz pole czworokąta ABCD, jeśli oraz .

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy oblicz pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg, jeżeli kąt między styczną poprowadzoną do okręgu w punkcie A i bokiem AB ma miarę 60°.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Zauważ, że na podstawie twierdzenia o stycznej i siecznej kąt ASB ma miarę . Trójkąt CAB jest prostokątny. Oblicz pole trójkąta ABS i pole deltoidu ASCD.

Numer zadania: 15.

Podpunkt: a)

Treść zadania:

Punkt jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka trójkąta równo- bocznego ABC. Wyznacz współrzędne:

- środka okręgu opisanego na tym trójkącie,

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

W trójkącie równobocznym wysokość dzieli się w stosunku 2 : 1. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w odległości od wierzchołka A. Rozwiąż zadanie przy użyciu równania z wektorami .

Podpunkt: b)

Treść zadania:

Punkt jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka trójkąta równo- bocznego ABC. Wyznacz współrzędne:

- pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć współrzędne wierzchołków trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Oblicz promień okręgu (jest to odcinek AS). Zapisz równanie okręgu oraz oblicz współczynnik kierunkowy prostej AD. Współczynnik kierunkowy prostej BC jest przeciwny i odwrotny, ponieważ AD jest prostopadłe do BC. Z układu równań wyznacz współrzędne punktów C i B, rozważ dwie możliwości.

Numer zadania: 16.

Treść zadania:

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a, natomiast cosinus kąta między jego sąsiednimi ścianami bocznymi jest równy . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego cosinus kąta między jego sąsiednimi ścianami bocznymi jest równy .

Rozwiązanie:

Z twierdzenia cosinusów:

Z twierdzenia Pitagorasa:

Wysokość ostrosłupa:

Wyjaśnienie:

Oblicz wysokość ściany bocznej z twierdzenia cosinusów. Teraz z twierdzenia Pitagorasa należy wyznaczyć odcinek AE, a następnie długość krawędzi bocznej k. Kiedy masz te dane, możesz obliczyć z twierdzenia Pitagorasa wysokość ostrosłupa i jego objętość.

Numer zadania: 17.

Treść zadania:

Dłuższa podstawa trapezu równoramiennego ma długość 4 cm, a jego obwód wynosi 10 cm. Niech x będzie długością ramienia trapezu. Wykaż, że funkcja:

opisuje pole tego trapezu dla . Wyznacz wartość x, dla której pole trapezu jest największe. Oblicz to pole.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy udowodnić, że funkcja opisuje pole trapezu oraz określić wartość x, tak aby pole trapezu było maksymalne.

Rozwiązanie:

Koniec dowodu.

Wyjaśnienie:

Oblicz długość krótszej podstawy. Wyznacz z twierdzenia Pitagorasa wysokość trapezu i zapisz dziedzinę. Teraz zapisz funkcję pola i udowodnij tezę z zadania. Zauważ, że funkcja f i funkcja P mają takie same ekstrema. Oblicz pochodną funkcji f i jej maksimum. Podaj największą wartość pola.

Nazwa tematu: 5. Zestaw 5 (128)

Numer zadania: 1.

Treść zadania:

Ile rozwiązań ma równanie ?

1,2,3,4.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić liczbę rozwiązań równania: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: B

Wyjaśnienie:

Naszkicuj dwa wykresy funkcji: oraz . Na podstawie rozwiązania graficznego określ ilość punktów wspólnych (rozwiązań) obu funkcji.

Numer zadania: 2.

Treść zadania:

Jeśli , to jest równy:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć wartość , jeżeli .

Rozwiązanie:

Odpowiedź: A

Wyjaśnienie:

Przypomnij sobie działania na pierwiastkach i potęgach. Zauważ, że , gdzie .

Numer zadania: 3.

Treść zadania:

Wskaż zbiór tych wartości parametru k, dla których dziedziną funkcji zbiór liczb rzeczywistych.

,,,

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć zbiór wartości k tak, aby dziedziną funkcji był zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: A.

Wyjaśnienie:

Wyrażenie w mianowniku nie może przyjmować wartości 0. Z tego wynika, że delta wyrażenia w mianowniku jest mniejsza od 0.

Numer zadania: 4.

Treść zadania:

Dane są zdarzenia takie, że i . Jeśli zdarzenie jest zdarzeniem pewnym, to wynosi:

,,,.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić prawdopodobieństwo , jeżeli zdarzenie jest zdarzeniem pewnym.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: C

Wyjaśnienie:

Jeżeli zdarzenie jest zdarzeniem pewnym, to jest równe 1. Skorzystaj ze wzoru . Oblicz ,a następnie .

Numer zadania: 5.

Treść zadania:

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC o bokach 5, 6 i 7. Jeśli miary kątów, jakie tworzą krawędzie boczne ostrosłupa z jego podstawą, są równe, to spodkiem wysokości jest punkt przecięcia:

środkowych trójkąta ABC,symetralnych boków trójkąta ABC,dwusiecznych trójkąta ABC,wysokości trójkąta ABC.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wskazać poprawne stwierdzenie dotyczące spodka wysokości ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: B

Wyjaśnienie:

Jeśli krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednakowym kątem, to spodkiem wysokości jest przecięcie symetralnych boków trójkąta ABC.

Numer zadania: 6.

Treść zadania:

Na okręgu opisano trapez prostokątny o kącie ostrym 30° i krótszej podstawie równej 1. Oblicz wysokość tego trapezu. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy wyznaczyć wysokość trapezu opisanego na okręgu, jeżeli kąt ostry trapezu prostokątnego ma miarę .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

W trapezie opisanym na okręgu suma boków leżących naprzeciw siebie jest równa sumie pozostałych boków.

Numer zadania: 7.

Treść zadania:

Wyznacz iloczyn rozwiązań równania należących do przedziału. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy określić iloczyn rozwiązań równania należących do przedziału.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Sinus jest równy dla kąta i . Rozwiąż dwa równania: .

Numer zadania: 8.

Treść zadania:

Wyznacz współrzędne punkt , który jest obrazem początku układu współrzędnych w jednokładności o środku i skali . Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby p+q.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy podać współrzędne punkt , będącego obrazem początku układu współrzędnych w jednokładności o środku .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Skoro punkt S jest obrazem punktu O, to punkt O musiał zostać pomnożony przez skalę jednokładności k względem punktu P, który jest środkiem jednokładności.

Numer zadania: 9.

Treść zadania:

Oblicz . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy obliczyć granicę .

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Sprowadź wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika. Skróć licznik i mianownik, a następnie oblicz granicę lewostronną.

Numer zadania: 10.

Treść zadania:

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC. Punkty D i E dzielą przeciwprostokątną AB na trzy odcinki o równej długości. Oblicz cosinus kąta DCE.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy podać wartość cosinusa kąta DCE w trójkącie prostokątnym równoramiennym.

Rozwiązanie:

Wyjaśnienie:

Oblicz długość przeciwprostokątnej BC. Podziel ją na trzy równe odcinki. Wyznacz odcinek AD z twierdzenia cosinusów. Oblicz cosinus kąta alfa ponownie używając tego twierdzenia.

Numer zadania: 11.

Treść zadania:

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 21, a suma trzech następnych wyrazów wynosi 168. Który wyraz tego ciągu jest równy 96?

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy podać, który z wyrazów ciągu geometrycznego jest równy 96.

Rozwiązanie:

– szósty wyraz ciągu

Wyjaśnienie:

Zapisz układ równań opisujący sumy z treści zadania. Wyznacz z niego iloraz q. Zapisz równanie , z którego wyznaczysz n. Numer wyrazu ciągu opisuje równanie .

Numer zadania: 12.

Podpunkt: a)

Treść zadania:

Na rysunku obok przedstawiono wykres wielomianu trzeciego stopnia.

Wyznacz wzór wielomianu w.

Zagadnienie:

W tym zadaniu należy zapisać wzór wielomianu w.

Rozwiązanie: