Dowód nie wprost:
Załóżmy, że liczba jest wymierna, czyli istnieją liczby całkowite względnie pierwsze , czyli nie mają wspólnych dzielników większych od 1, takie, że:
Stąd, po podniesieniu obu stron do kwadratu:
Liczba jest liczbą podzielną przez 3, więc liczba również, czyli , dla . Stąd:
Oznacza to, że liczba jest liczbą podzielną przez 3, czyli liczba również.
Więc liczba 3 jest wspólnym dzielnikiem liczb i , co jest sprzeczne z założeniem, że są one względnie pierwsze.
Wyszła sprzeczność, a więc założenie, że jest liczbą wymierną, czyli możne je przedstawić za pomocą ułamka jest fałszywe.
Więc jest liczbą niewymierną.
To kończy dowód.
