Dane jest równanie
. Wyznacz wartości parametru 𝑎, dla którego to równanie jest sprzeczne.
Zauważ, że lewa strona równania to pewien szereg geometryczny. Jego wyraz początkowy to
, natomiast jego iloraz jest równy:
Szereg ten zawsze jest zbieżny.
Korzystając z pozyskanych danych, wyznacz postać jawną tego szeregu:
Mamy więc:
Wprowadź zmienną pomocniczą:
Mamy więc:
Warunkiem wystarczającym, żeby równanie kwadratowe nie miało rozwiązań, jest wyróżnik mniejszy od zera:
Jest również możliwa druga sytuacja: równanie kwadratowe ma jedno lub dwa rozwiązanie ujemne. Wtedy, jako że zmienna 𝑡 przyjmuje wyłącznie wartości większe od zera, nie będzie rozwiązań w 𝑥 będącymi rozwiązaniami w 𝑡. Drugi zestaw warunków przyjmuje więc postać:
Skorzystaj z obliczeń z powyższego podpunktu:
Wyznacz zbiór rozwiązań:
Odp.:
.
Zauważ, że lewa strona równania to pewien szereg geometryczny. Skorzystaj ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego:
gdzie
to wyraz początkowy ciągu, a
– iloraz ciągu.
Zauważ, że otrzymane równanie to równanie kwadratowe z parametrem. Zastąp funkcję wykładniczą zmienną pomocniczą, a następnie wyznacz wartości 𝑎, dla których wyróżnik wielomianu jest mniejszy od zera, lub dla których wyróżnik jest większy bądź równy zeru i żadne z rozwiązań nie jest dodatnie. Skorzystaj w tym celu ze wzoru Viete’a:
Rozwiąż wynikowe nierówności liniowe.
Zadanie 1.1.
5Zadanie 1.2.
5Zadanie 1.3.
5Zadanie 1.4.
5Zadanie 1.5.
6Zadanie 1.6.
6Zadanie 1.8.
6Zadanie 1.9.
6Zadanie 1.10.
6Zadanie 1.11.
7Zadanie 1.12.
7Zadanie 1.13.
7Zadanie 1.14.
7Zadanie 1.15.
8Zadanie 1.16.
8Zadanie 1.17.
8Zadanie 1.21.
9Zadanie 1.23.
9Zadanie 1.25.
22Zadanie 1.26.
9Zadanie 1.27.
10Zadanie 1.28.
10Zadanie 1.29.
10Zadanie 1.30.
10Zadanie 1.31.
10Zadanie 1.32.
11Zadanie 1.33.
11Zadanie 1.34.
11Zadanie 1.35.
11Zadanie 1.38.
11Zadanie 1.39.
12Zadanie 1.41.
12Zadanie 1.42.
12Zadanie 1.43.
13Zadanie 1.44.
13Zadanie 1.45.
13Zadanie 1.46.
13Zadanie 1.47.
13Zadanie 1.48.
14Zadanie 1.49.
14Zadanie 1.50.
14Zadanie 1.51.
14Zadanie 1.52.
14Zadanie 1.53.
14Zadanie 1.54.
15Zadanie 1.55.
15Zadanie 1.56.
15Zadanie 1.57.
15Zadanie 1.58.
15Zadanie 1.59.
15Zadanie 1.60.
15Zadanie 1.61.
16Zadanie 1.62.
16Zadanie 1.63.
16Zadanie 1.64.
16Zadanie 1.65.
16Zadanie 1.66.
17Zadanie 1.67.
17Zadanie 1.68.
17Zadanie 1.69.
17Zadanie 1.70.
17Zadanie 1.71.
17Zadanie 1.72.
18Zadanie 1.73.
18Zadanie 1.74.
18Zadanie 1.75.
18Zadanie 1.76.
18Zadanie 1.77.
18Zadanie 1.78.
18Zadanie 1.79.
18Zadanie 1.80.
19Zadanie 1.81.
19Zadanie 1.82.
19Zadanie 1.83.
19Zadanie 1.84.
19Zadanie 1.85.
20Zadanie 1.86.
20Zadanie 1.87.
20Zadanie 1.88.
20Zadanie 1.89.
20Zadanie 1.91.
20Zadanie 1.92.
21Zadanie 1.93.
21Zadanie 1.94.
21Zadanie 1.95.
21Zadanie 1.96.
21Zadanie 1.101.
22Zadanie 1.102.
22Zadanie 1.103.
22Zadanie 1.104.
22Zadanie 1.105.
22Zadanie 1.108.
23Zadanie 1.109.
23Zadanie 1.110.
23Zadanie 11.
25Zadanie 19.
26Zadanie 20.
26Zadanie 21.
26Zadanie 22.
26Zadanie 23.
26Zadanie 24.
27Zadanie 25.
27Zadanie 26.
27Zadanie 27.
27Zadanie 28.
27Zadanie 32.
28Zadanie 34.
28Zadanie 35.
28