Dane jest równanie
. Wyznacz wartości parametru 𝑝, dla którego to równanie ma jedno lub więcej rozwiązań.
Wprowadź zmienną pomocniczą:
Mamy więc:
Jednym z zestawów rozwiązań są jedno lub dwa rozwiązania dodatnie. Zmienna pomocnicza przyjmuje tylko wartości większe od zera, dlatego ujemne rozwiązania nie są brane pod uwagę. Skorzystaj w tym celu ze wzorów Viete’a:
Jest również możliwa druga sytuacja: równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania o różnych znakach. Wtedy, jako że zmienna 𝑡 przyjmuje wyłącznie wartości większe od zera, tylko jedno rozwiązanie w 𝑡 da rozwiązanie w 𝑥. Drugi zestaw warunków przyjmuje więc postać:
W trzecim przypadku wśród dwóch rozwiązań jedno jest zerem. Wtedy, jako że zmienna 𝑡 przyjmuje wyłącznie wartości większe od zera, tylko jedno rozwiązanie w 𝑡 da rozwiązanie w 𝑥:
Rozważ przypadki:
Dla
Dla
Dla
równanie ma 0 w mianowniku, czyli jest nieokreślone. Wstaw parametr ręcznie do równania i sprawdź, czy spełnia założenia zadania:
Równanie ma jedno rozwiązanie dodatnie, czyli spełnia założenia zadania.
Podsumowując:
Rozważ przypadki:
Dla
Dla
Jak wiadomo z podpunktu 2:,
spełnia warunki zadania.
Podsumowując:
Korzystając z obliczeń w podpunkcie 1:
Rozważ przypadki:
Dla
Dla
Jak wiadomo z podpunktu 2:,
spełnia warunki zadania.
Podsumowując:
Korzystając z obliczeń w podpunkcie 2:
Wyznacz zbiór rozwiązań:
Odp.:
.
Zauważ, że równanie przedstawione w treści zadania to równanie kwadratowe z parametrem. Zastąp funkcję wykładniczą zmienną pomocniczą, a następnie wyznacz wartości 𝑝, dla których wyróżnik wielomianu jest równy zeru oraz miejsce zerowe wielomianu jest dodatnie, lub dla których wyróżnik jest większy bądź równy zeru i dokładnie jedno z rozwiązań jest dodatnie. Skorzystaj w tym celu ze wzoru Viete’a:
Rozwiąż wynikowe nierówności hiperboliczne i liniowe.
Zadanie 1.1.
5Zadanie 1.2.
5Zadanie 1.3.
5Zadanie 1.4.
5Zadanie 1.5.
6Zadanie 1.6.
6Zadanie 1.8.
6Zadanie 1.9.
6Zadanie 1.10.
6Zadanie 1.11.
7Zadanie 1.12.
7Zadanie 1.13.
7Zadanie 1.14.
7Zadanie 1.15.
8Zadanie 1.16.
8Zadanie 1.17.
8Zadanie 1.21.
9Zadanie 1.23.
9Zadanie 1.25.
22Zadanie 1.26.
9Zadanie 1.27.
10Zadanie 1.28.
10Zadanie 1.29.
10Zadanie 1.30.
10Zadanie 1.31.
10Zadanie 1.32.
11Zadanie 1.33.
11Zadanie 1.34.
11Zadanie 1.35.
11Zadanie 1.38.
11Zadanie 1.39.
12Zadanie 1.41.
12Zadanie 1.42.
12Zadanie 1.43.
13Zadanie 1.44.
13Zadanie 1.45.
13Zadanie 1.46.
13Zadanie 1.47.
13Zadanie 1.48.
14Zadanie 1.49.
14Zadanie 1.50.
14Zadanie 1.51.
14Zadanie 1.52.
14Zadanie 1.53.
14Zadanie 1.54.
15Zadanie 1.55.
15Zadanie 1.56.
15Zadanie 1.57.
15Zadanie 1.58.
15Zadanie 1.59.
15Zadanie 1.60.
15Zadanie 1.61.
16Zadanie 1.62.
16Zadanie 1.63.
16Zadanie 1.64.
16Zadanie 1.65.
16Zadanie 1.66.
17Zadanie 1.67.
17Zadanie 1.68.
17Zadanie 1.69.
17Zadanie 1.70.
17Zadanie 1.71.
17Zadanie 1.72.
18Zadanie 1.73.
18Zadanie 1.74.
18Zadanie 1.75.
18Zadanie 1.76.
18Zadanie 1.77.
18Zadanie 1.78.
18Zadanie 1.79.
18Zadanie 1.80.
19Zadanie 1.81.
19Zadanie 1.82.
19Zadanie 1.83.
19Zadanie 1.84.
19Zadanie 1.85.
20Zadanie 1.86.
20Zadanie 1.87.
20Zadanie 1.88.
20Zadanie 1.89.
20Zadanie 1.91.
20Zadanie 1.92.
21Zadanie 1.93.
21Zadanie 1.94.
21Zadanie 1.95.
21Zadanie 1.96.
21Zadanie 1.101.
22Zadanie 1.102.
22Zadanie 1.103.
22Zadanie 1.104.
22Zadanie 1.105.
22Zadanie 1.108.
23Zadanie 1.109.
23Zadanie 1.110.
23Zadanie 11.
25Zadanie 19.
26Zadanie 20.
26Zadanie 21.
26Zadanie 22.
26Zadanie 23.
26Zadanie 24.
27Zadanie 25.
27Zadanie 26.
27Zadanie 27.
27Zadanie 28.
27Zadanie 32.
28Zadanie 34.
28Zadanie 35.
28