Dane są funkcje
oraz pewien argument
. Wiadomo, że wartością funkcji f dla argumentu
jest liczba 23. Udowodnij, że funkcja g dla tego samego argumentu przyjmuje wartość 5.
Zapisz wzór funkcji f jako:
Do wyrażenia dopisz różnicę
(która ma wartość 0, więc nie wpłynie finalnie na wzór funkcji f), aby otrzymać postać wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
Lewa część powyższej różnicy ma postać wzoru funkcji g, zatem:
Z treści zadania wiadomo, że:
Zatem:
Funkcja g jest sumą wyrażeń 2x oraz 2-x. Przyjmują one tylko wartości dodatnie (co wynika z własności funkcji wykładniczej). Zatem do zbioru wartości funkcji g też będą należały tylko liczby dodatnie.
Równanie
jest więc sprzeczne i warunki zadania spełnia:
Co należało wykazać.
Przekształć wzór funkcji f tak, aby zawrzeć w nim wzór funkcji g.
W tym celu dopisz do niego odpowiednią różnicę, aby wyrażenie dało się zwinąć za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Wykorzystaj także własności:
Zapisz równość f(x0) = 23 wynikającą z treści zadania. Wstaw do niej wyznaczone wyrażenie ze wzorem funkcji g i rozwiąż powstałe równanie.
Zwróć uwagę na zbiór wartości funkcji g, który wykluczy jedno z rozwiązań.
Zauważ, że otrzymany wynik pokrywa się z treścią tezy, co kończy dowód.
Zadanie 1.1.
5Zadanie 1.2.
5Zadanie 1.3.
5Zadanie 1.4.
5Zadanie 1.5.
6Zadanie 1.6.
6Zadanie 1.8.
6Zadanie 1.9.
6Zadanie 1.10.
6Zadanie 1.11.
7Zadanie 1.12.
7Zadanie 1.13.
7Zadanie 1.14.
7Zadanie 1.15.
8Zadanie 1.16.
8Zadanie 1.17.
8Zadanie 1.21.
9Zadanie 1.23.
9Zadanie 1.25.
22Zadanie 1.26.
9Zadanie 1.27.
10Zadanie 1.28.
10Zadanie 1.29.
10Zadanie 1.30.
10Zadanie 1.31.
10Zadanie 1.32.
11Zadanie 1.33.
11Zadanie 1.34.
11Zadanie 1.35.
11Zadanie 1.38.
11Zadanie 1.39.
12Zadanie 1.41.
12Zadanie 1.42.
12Zadanie 1.43.
13Zadanie 1.44.
13Zadanie 1.45.
13Zadanie 1.46.
13Zadanie 1.47.
13Zadanie 1.48.
14Zadanie 1.49.
14Zadanie 1.50.
14Zadanie 1.51.
14Zadanie 1.52.
14Zadanie 1.53.
14Zadanie 1.54.
15Zadanie 1.55.
15Zadanie 1.56.
15Zadanie 1.57.
15Zadanie 1.58.
15Zadanie 1.59.
15Zadanie 1.60.
15Zadanie 1.61.
16Zadanie 1.62.
16Zadanie 1.63.
16Zadanie 1.64.
16Zadanie 1.65.
16Zadanie 1.66.
17Zadanie 1.67.
17Zadanie 1.68.
17Zadanie 1.69.
17Zadanie 1.70.
17Zadanie 1.71.
17Zadanie 1.72.
18Zadanie 1.73.
18Zadanie 1.74.
18Zadanie 1.75.
18Zadanie 1.76.
18Zadanie 1.77.
18Zadanie 1.78.
18Zadanie 1.79.
18Zadanie 1.80.
19Zadanie 1.81.
19Zadanie 1.82.
19Zadanie 1.83.
19Zadanie 1.84.
19Zadanie 1.85.
20Zadanie 1.86.
20Zadanie 1.87.
20Zadanie 1.88.
20Zadanie 1.89.
20Zadanie 1.91.
20Zadanie 1.92.
21Zadanie 1.93.
21Zadanie 1.94.
21Zadanie 1.95.
21Zadanie 1.96.
21Zadanie 1.101.
22Zadanie 1.102.
22Zadanie 1.103.
22Zadanie 1.104.
22Zadanie 1.105.
22Zadanie 1.108.
23Zadanie 1.109.
23Zadanie 1.110.
23Zadanie 11.
25Zadanie 19.
26Zadanie 20.
26Zadanie 21.
26Zadanie 22.
26Zadanie 23.
26Zadanie 24.
27Zadanie 25.
27Zadanie 26.
27Zadanie 27.
27Zadanie 28.
27Zadanie 32.
28Zadanie 34.
28Zadanie 35.
28