Udowodnij, że nie istnieje taki
, że nierówność
nie ma żadnego rozwiązania.
Założenia:
Teza:
Dla każdego
nierówność
ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Dowód:
Przekształcamy wyrażenie:
Zbadajmy, jak wyglądają rozwiązania nierówności w zależności od parametru
.
Dla
lub
:
Ta nierówność jest spełniona dla dowolnego
.
:
Ta nierówność również jest spełniona dla dowolnego
.
Dla
. Iloczyn dwóch wyrażeń jest większy od zera wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam znak. Oznacza to, że
i
lub
i
:
i
i
, czyli część wspólna to
.
i
i
, czyli część wspólna to
.
Czyli
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Dla tego przedziału:
Czyli zawsze ma przynajmniej jedno rozwiązanie z przedziału
.
Dla
. Iloczyn dwóch wyrażeń jest mniejszy od zera wtedy i tylko wtedy, gdy mają różne znaki. Oznacza to, że
i
lub
i
.
i
i
, czyli część wspólna to
.
i
i
, czyli część wspólna to
.
Czyli
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Dla tego przedziału:
Czyli zawsze ma przynajmniej jedno rozwiązanie z przedziału
.
Wyczerpaliśmy wszystkie przypadki i dla każdego nierówność ma przynajmniej jedno rozwiązanie, czyli dla każdego
nierówność
ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
(co kończy dowód)
Przekształcamy nierówność, grupując wyrazy zawierające zmienną
po lewej, a wyrazy wolne po prawej. Następnie badamy, jaką postać przyjmują rozwiązania w zależności od znaku parametru pamiętając o tym, by rozpatrzyć wszystkie przypadki.
Zadanie 1.4.
104Zadanie 1.5.
105Zadanie 1.6.
105Zadanie 1.7.
105Zadanie 1.8.
105Zadanie 1.9.
105Zadanie 2.5.
111Zadanie 2.6.
111Zadanie 2.8.
111Zadanie 2.9.
111Zadanie 2.10.
112Zadanie 2.11.
112Zadanie 2.12.
112Zadanie 3.4.
118Zadanie 3.5.
118Zadanie 3.7.
118Zadanie 3.8.
119Zadanie 3.9.
119Zadanie 3.10.
119Zadanie 3.11.
119Zadanie 3.12.
119Zadanie 3.13.
119Zadanie 3.14.
120Zadanie 4.5.
126Zadanie 4.6.
126Zadanie 4.7.
126Zadanie 4.8.
126Zadanie 4.9.
126Zadanie 4.10.
127Zadanie 4.11.
127Zadanie 4.12.
127Zadanie 4.13.
127Zadanie 4.14.
127Zadanie 4.15.
127Zadanie 5.5.
131Zadanie 5.6.
131Zadanie 5.7.
132Zadanie 5.8.
132Zadanie 5.9.
132Zadanie 5.10.
132Zadanie 5.11.
132Zadanie 5.12.
132Zadanie 5.13.
133Zadanie 5.14.
133Zadanie 5.15.
133Zadanie 6.6.
140Zadanie 6.7.
140Zadanie 6.8.
140Zadanie 6.9.
140Zadanie 6.10.
140Zadanie 6.11.
140Zadanie 6.12.
141Zadanie 6.13.
141Zadanie 6.14.
141Zadanie 6.15.
141Zadanie 6.16.
141Zadanie 6.17.
142Zadanie 6.18.
142Zadanie 7.6.
150Zadanie 7.7.
150Zadanie 7.8.
150Zadanie 7.9.
151Zadanie 7.11.
151Zadanie 7.16.
151Zadanie 7.17.
152Zadanie 7.18.
152Zadanie 7.19.
152Zadanie 7.20.
152Zadanie 7.21.
152Zadanie 7.22.
152Zadanie 7.23.
152Zadanie 7.24.
152Zadanie 7.25.
153Zadanie 7.26.
153Zadanie 8.3.
162Zadanie 8.4.
162Zadanie 8.11.
162Zadanie 8.12.
162Zadanie 8.17.
163Zadanie 8.21.
163Zadanie 8.23.
163Zadanie Prosto do matury 5.
164Zadanie 9.6.
171Zadanie 9.7.
171Zadanie 9.8.
171Zadanie 9.9.
171Zadanie 9.10.
171Zadanie 10.5.
184Zadanie 10.6.
185Zadanie 10.7.
185Zadanie 10.8.
185Zadanie 10.9.
185Zadanie 10.10.
186Zadanie 10.11.
186Zadanie 10.12.
186Zadanie 10.13.
186Zadanie 10.14.
187Zadanie 10.15.
187Zadanie 10.16.
187Zadanie 10.17.
187Zadanie 10.21.
188Zadanie 40.
195Zadanie 43.
195Zadanie 44.
195Zadanie 45.
195Zadanie 65.
197Zadanie 67.
197Zadanie 68.
197Zadanie 69.
197Zadanie 77.
198