Pryzmat w formie graniastosłupa o podstawie w kształcie trójkąta prostokątnego równoramiennego jest używany do załamania światła. Promień światła pada na jedną z krótkich ścian pryzmatu i po załamaniu kieruje się do dłuższej ściany. Na podstawie podanych informacji oraz rysunku musisz obliczyć odległość od miejsca, w którym promień światła wpadł na pryzmat, do wskazanego wierzchołka pryzmatu.

UWAGA - Zadanie zawiera nieścisłość! Na załączonym rysunku sugeruje się, że podczas przechodzenia światła z medium optycznie gęstszego do rzadszego, kąt padania przewyższa kąt załamania. To założenie jest nieprawidłowe, gdyż przy takim przejściu kąt załamania faktycznie jest większy niż kąt padania!

Narysuj rysunek poprawnie:

$\text{[math]}$ - kąt załamania przy wyjściu światła z pryzmatu

Dane:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (współczynnik załamania szkła)

Ponieważ w trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna wynosi $\text{[math]}$ , dlatego $\text{[math]}$

Korzystając z prawa Snella, masz:

$\text{[math]}$

Skąd, dla sinusa kąta padania na dłuższą przeciwprostokątną, masz:

$\text{[math]}$

Znając sumę kątów wewnętrznych trójkąta możesz zapisać, że:

$\text{[math]}$

Wykorzystaj twierdzenie sinusów. Wówczas:

$\text{[math]}$

Podstaw w równaniu wyprowadzoną wcześniej zależność $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Wykorzystując z kolei wzory redukcyjne:

$\text{[math]}$

Z sinusa sumy kątów:

$\text{[math]}$

Natomiast z jedynki trygonometrycznej:

$\text{[math]}$

Podstaw wyprowadzoną wcześniej zależność:

$\text{[math]}$

Wróć do twierdzenia sinusów, aby wyznaczyć x:

$\text{[math]}$

Na początku tego zadania musisz zauważyć, że w jego treści jest błąd. Na załączonym do niego rysunku sugeruje się bowiem, że podczas przechodzenia światła z medium optycznie gęstszego do rzadszego, kąt padania przewyższa kąt załamania. Jest to nieprawda, ponieważ przy takim przejściu kąt załamania faktycznie jest większy niż kąt padania.

Następnie narysuj odpowiedni rysunek, który uwzględnia prawidłowe założenia. Dalej, korzystając z prawa Snella oraz sinusa kąta padania na dłuższą przeciwprostokątną, wyprowadź następującą zależność: $\text{[math]}$ . Następnie wykorzystaj sumę kątów wewnętrznych trójkąta, aby zapisać, że: $\text{[math]}$ . Kolejno, przy pomocy twierdzenia sinusów i wzorów redukcyjnych, powinien otrzymać następującą zależność: $\text{[math]}$

Dodatkowo, m.in z jedynki trygonometrycznej, będziesz mógł także wyprowadzić zależność na $\text{[math]}$ , czyli: $\text{[math]}$ . Następnie wróć do twierdzenia sinusów, aby wyznaczyć x i skracając doprowadź je do postaci: $\text{[math]}$ .