W tym zadaniu wskaż współrzędne wierzchołków kwadratu, który został opisany na okręgu o równaniu
, jeżeli wiadomo, że przekątna tego kwadratu jest zawarta w prostej
.
,
.
Przekątna –
oraz
i
Wynika stąd, że równie tej prostej:
⋁
i
Odpowiedź: Współrzędne wynoszą
i
oraz
i
.
Przekształć równanie okręgu do postaci kanonicznej:
Środek o równaniu
ma współrzędne
, a promień
.
Bok kwadratu opisanego na tym okręgu jest dwa razy dłuższy niż promień, więc ma długość
. Z kolei przekątna kwadratu ma długość:
Odległość wierzchołków kwadratu od środka okręgu jest równa połowie przekątnej kwadratu. Na prostej o równaniu
leżą dwa wierzchołki kwadratu.
Zapisz równanie tej prostej w postaci kanonicznej:
Odległość tych punktów od środka okręgu jest równa
, zatem:
Punkty te leżą na prostej
, zatem:
Rozwiąż równanie kwadratowe:
Równanie ma dwa rozwiązania zatem:
oraz
Wierzchołki kwadratu znajdujące się na prostej
mają współrzędne:
i
Dwa pozostałe wierzchołki leżą na prostej prostopadłej do prostej
i przechodzącej przez środek
.
Dwie proste o równaniach kierunkowych
i
są prostopadłe, gdy spełniają warunek:
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej
będzie równy , wtedy:
Wynika stąd, że równie tej prostej:
Podstaw współrzędne punktu przez który przechodzi ta prosta, czyli współrzędne środka okręgu
.
Prosta prostopadła do prostej
przechodząca przez środek
ma równanie:
Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu leżących na prostej
. Odległość tych punktów od środka również jest równa
, zatem:
Rozwiąż równanie kwadratowe:
Równanie ma dwa rozwiązania, zatem:
⋁
Wierzchołki kwadratu znajdujące się na prostej
mają współrzędne:
i
Zadanie 1.5
111Zadanie 1.6
111Zadanie 1.7
111Zadanie 1.8
111Zadanie 1.9
111Zadanie 1.10
111Zadanie 1.11
112Zadanie 1.12
112Zadanie 1.13
112Zadanie 1.14
112Zadanie 1.18
112Zadanie 1.19
112Zadanie 1.20
113Zadanie 1.21
113Zadanie 1.22
113Zadanie 1.23
113Zadanie 1.26
113Zadanie 2.4
121Zadanie 2.5
121Zadanie 2.6
121Zadanie 2.7
122Zadanie 2.8
122Zadanie 2.9
122Zadanie 2.10
122Zadanie 2.11
122Zadanie 2.14
122Zadanie 2.16
123Zadanie 3.4
134Zadanie 3.5
134Zadanie 3.6
134Zadanie 3.7
134Zadanie 3.8
134Zadanie 3.10
134Zadanie 3.15
135Zadanie 3.17
135Zadanie 3.19
135Zadanie 3.20
135Zadanie 3.25
136Zadanie 4.4
144Zadanie 4.5
144Zadanie 4.6
144Zadanie 4.7
144Zadanie 4.9
145Zadanie 4.10
145Zadanie 4.11
145Zadanie 4.12
145Zadanie 4.15
145Zadanie 4.19
145Zadanie 4.22
146Zadanie 5.5
156Zadanie 5.6
156Zadanie 5.7
157Zadanie 5.14
157Zadanie 5.25
158Zadanie 5.26
158Zadanie 5.27
158Zadanie 5.29
159Zadanie 5.30
159Zadanie 6.6
168Zadanie 6.7
168Zadanie 6.10
168Zadanie 6.11
168Zadanie 6.14
169Zadanie 6.17
169Zadanie 6.18
169Zadanie 6.19
169Zadanie 6.22.
170Zadanie 6.23.
170Zadanie 7.4.
176Zadanie 7.5.
176Zadanie 7.6.
176Zadanie 7.8.
176Zadanie 7.9.
177Zadanie 7.11.
177Zadanie 7.13.
178Zadanie 7.14.
178Zadanie 7.15.
178Zadanie 7.18.
178Zadanie 7.19.
179Zadanie 39.
184Zadanie 40.
184Zadanie 41.
185Zadanie 42.
185Zadanie 43.
185Zadanie 44.
185Zadanie 54.
186Zadanie 68.
187Zadanie 73.
188