W tym zadaniu udowodnij, że najmniejsze pole powierzchni całkowitej ma sześcian o krawędzi wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych czworokątnych o objętości .
– krawędź podstawy
– wysokość graniastosłupa
Stąd:
Oznacz:
– krawędź podstawy
– wysokość graniastosłupa
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Masz daną objętość graniastosłupa, więc rozpisz ze wzoru:
Stąd:
Zatem będziesz teraz konstruować funkcję pola powierzchni w zależności od krawędzi podstawy. Skorzystaj ze wzoru:
Więc:
Chcesz odszukać najmniejszego pola powierzchni, zatem zbadaj minimum:
Oblicz pochodną funkcji F:
Zauważ, że:
Zbadaj znak licznika:
Zatem:
Najpierw funkcja maleje a potem rośnie, więc minimum jest w:
Stąd najmniejsze pole powierzchni ma prostopadłościan o wymiarach:
Zatem jest to sześcian.
Zadanie 1.4.
279Zadanie 1.5.
279Zadanie 1.6.
279Zadanie 1.8.
279Zadanie 1.9.
280Zadanie 1.11.
280Zadanie 1.12.
280Zadanie 1.13.
280Zadanie 1.15.
280Zadanie 1.16.
280Zadanie 1.17.
281Zadanie 1.18.
281Zadanie 1.19.
281Zadanie 1.20.
281Zadanie 2.
281Zadanie 4.
281Zadanie 2.4.
285Zadanie 2.5.
286Zadanie 2.6.
286Zadanie 2.7.
286Zadanie 2.8.
286Zadanie 2.10.
286Zadanie 2.11.
286Zadanie 2.12.
286Zadanie 3.4.
295Zadanie 3.5.
295Zadanie 3.6.
295Zadanie 3.7.
295Zadanie 3.8.
295Zadanie 3.9.
296Zadanie 3.10.
296Zadanie 3.13.
296Zadanie 3.14.
297Zadanie 2.
297Zadanie 4.6.
304Zadanie 4.7.
304Zadanie 4.8.
304Zadanie 4.9.
304Zadanie 4.10.
305Zadanie 4.11.
305Zadanie 4.12.
305Zadanie 2.
306Zadanie 5.5.
312Zadanie 5.6.
312Zadanie 5.7.
313Zadanie 5.8.
313Zadanie 5.11.
313Zadanie 5.12.
314Zadanie 5.14.
314Zadanie 5.15.
314Zadanie 6.5.
323Zadanie 6.13.
324Zadanie 7.4.
333Zadanie 7.5.
333Zadanie 7.6.
333Zadanie 7.7.
333Zadanie 7.8.
334Zadanie 7.10.
334Zadanie 8.4.
342Zadanie 8.5.
342Zadanie 8.6.
342Zadanie 8.7.
343Zadanie 8.8.
343Zadanie 9.4.
353Zadanie 9.7.
353Zadanie 9.8.
353Zadanie 9.16.
355Zadanie 27.
368Zadanie 28.
368Zadanie 29.
368Zadanie 30.
368Zadanie 32.
368