W tym zadaniu wskaż, ile wynoszą długości boków prostokąta o największym możliwym polu, wiedząc, że został on wpisany w półkole o promieniu 1.
(bo
)
⋀ ⋀
⋀ ⋀
⋀ ⋀
⋁
⋁
⋁
Odpowiedź: Długości wynoszą .
Stwórz rysunek poglądowy.
Zapisz podstawowe założenia do zadania:
Zauważ, że
Z Twierdzenia Pitagorasa możesz wyznaczyć zależność:
(bo
)
Zatem funkcja wyrażająca pole prostokąta w zależności od długości boku ma postać:
Znajdź maksimum tej funkcji. Najpierw wyznacz dziedzinę:
⋀ ⋀
⋀ ⋀
⋀ ⋀
Oblicz pochodną:
Znajdź zera pochodnej, jej mianownik jest zawsze dodatni, stąd zbadaj tylko licznik:
⋁
⋁
⋁
Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujesz:
Zatem w masz maksimum, stąd:
Zadanie 1.4.
279Zadanie 1.5.
279Zadanie 1.6.
279Zadanie 1.8.
279Zadanie 1.9.
280Zadanie 1.11.
280Zadanie 1.12.
280Zadanie 1.13.
280Zadanie 1.15.
280Zadanie 1.16.
280Zadanie 1.17.
281Zadanie 1.18.
281Zadanie 1.19.
281Zadanie 1.20.
281Zadanie 2.
281Zadanie 4.
281Zadanie 2.4.
285Zadanie 2.5.
286Zadanie 2.6.
286Zadanie 2.7.
286Zadanie 2.8.
286Zadanie 2.10.
286Zadanie 2.11.
286Zadanie 2.12.
286Zadanie 3.4.
295Zadanie 3.5.
295Zadanie 3.6.
295Zadanie 3.7.
295Zadanie 3.8.
295Zadanie 3.9.
296Zadanie 3.10.
296Zadanie 3.13.
296Zadanie 3.14.
297Zadanie 2.
297Zadanie 4.6.
304Zadanie 4.7.
304Zadanie 4.8.
304Zadanie 4.9.
304Zadanie 4.10.
305Zadanie 4.11.
305Zadanie 4.12.
305Zadanie 2.
306Zadanie 5.5.
312Zadanie 5.6.
312Zadanie 5.7.
313Zadanie 5.8.
313Zadanie 5.11.
313Zadanie 5.12.
314Zadanie 5.14.
314Zadanie 5.15.
314Zadanie 6.5.
323Zadanie 6.13.
324Zadanie 7.4.
333Zadanie 7.5.
333Zadanie 7.6.
333Zadanie 7.7.
333Zadanie 7.8.
334Zadanie 7.10.
334Zadanie 8.4.
342Zadanie 8.5.
342Zadanie 8.6.
342Zadanie 8.7.
343Zadanie 8.8.
343Zadanie 9.4.
353Zadanie 9.7.
353Zadanie 9.8.
353Zadanie 9.16.
355Zadanie 27.
368Zadanie 28.
368Zadanie 29.
368Zadanie 30.
368Zadanie 32.
368